MATHADORE
         Volume 1 Numéro 16 - 29 mai 2000

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

Un piège irrésistible

S'il est relativement facile de comprendre pourquoi un élève éprouve des difficultés en mathématiques, comprendre pourquoi un élève réussit constitue souvent un exploit. En fait, le succès en mathématiques tient parfois du miracle !

Voici l'histoire du piège le plus répandu et le plus efficace que je connaisse. Avant d'aborder cette histoire, croyez-vous vraiment que 1 mètre multiplié par 3 égale 3 mètres ? Si vous en êtes persuadé, j'espère que vous ne changerez pas d'idée dans les prochaines minutes.

Vous connaissez la séquence traditionnelle qui consiste à enseigner aux élèves dans l'ordre : les entiers naturels, les fractions ordinaires et décimales, les entiers relatifs et enfin l'algèbre. Voyons comment se transforme le sens de la division dans cette séquence.

D'abord, sur les entiers naturels, la division est définie comme un partage ou une mesure. Ainsi, 6 mètres divisés par 3 égale 2 mètres, représente un partage alors que 6 mètres divisés par 3 mètres égale 2, représente une mesure ou une contenance. Dans ce dernier cas, on parle aussi de soustraction répétée, c'est-à-dire qu'il faut soustraire deux fois « 3 mètres » de 6 mètres pour obtenir 0 mètre.

à y regarder de plus près, le partage et la mesure représentent deux facettes de la même réalité. Dans un cas, connaissant le nombre de parties, on doit trouver la valeur de chacune alors que dans l'autre cas, c'est l'inverse, connaissant la valeur de chaque partie, on doit trouver combien il y a de parties semblables, ce qui peut être obtenu en effectuant une soustraction répétée.

Va pour les entiers naturels ! Et maintenant qu'en est-il des fractions ? Un fait remarquable peut être observé alors dans de nombreux volumes: diviser n'est plus partager, diviser devient mesurer. Ainsi, 4 divisé par 1/2 égale 8 est interprété comme représentant le fait qu'il y a huit demies dans quatre entiers. Ceci est exact ! Des exemples concrets l'illustrent. Ainsi, on propose aux élèves 4 mètres divisés par 0,5 mètre égale 8. Il y a donc huit demi-mètres dans quatre mètres.

Mais la division vue comme un partage n'existe plus. Ainsi on évite les problèmes semblables à 4 mètres divisés par 0,5 égale 8 mètres. Drôle de partage ! Et que penser de 1 mètre divisé par 1/3 qui devient grâce à la technique habituelle: 1 mètre multiplié par 3 égale 3 mètres ?

C'est un peu bizarre que le sens de la division dépende des nombres utilisés plutôt que du contexte ! Mais ce n'est pas tout, avec les entiers relatifs, la perte de sens se poursuit.

Prenons (12) divisé par (-3) égale (-4). Faut-il partager 12 en « -3 » parties ? Faut-il plutôt essayer de trouver combien il y a de « -3 » dans « 12 » ? On illustre souvent les nombres négatifs au moyen de la température. Faut-il croire que dans ( 12 degrés Celsius ) il y a un certain nombre de ( -3 degrés Celsius ) ? à moins que vous préfériez trouver le nombre de dettes de trois dollars (-3 $) qu'il y a dans une somme de douze dollars : 12 $ divisés par (-3 $) égale (-4) ?

On peut toujours essayer la soustraction répétée : 12 $ - (-3 $) = 15 $, 15 $ - (-3$ ) = 18 $... C'est vraiment mal parti ! D'autre part, 12 $ - (-3 ) = __ ne peut être effectuée puisque (-3) ne représente pas une quantité de même nature que 12 $.

Bref, lorsqu'on observe la séquence d'enseignement de la division, on constate une disparition de sens : avec les entiers, diviser c'est partager ou mesurer, avec les fractions, c'est mesurer et avec les relatifs, c'est... former l'esprit!

Il existe pourtant au moins un type de concrétisation qui devrait ébranler les convictions selon lesquelles diviser c'est partager ou mesurer. Prenons 6 mètres carrés divisés par 3 mètres égale 2 mètres. Il ne s'agit certes pas d'un partage où six mètres carrés partagés en parties de trois mètres donne trois « mètres parties » . Il n'est pas possible de croire non plus que dans six mètres carrés il y a « 2 mètres » fois des longueurs de trois mètres. Aucun succès ne peut être obtenu non plus avec la soustraction répétée où il faudrait soustraire des mètres linéaires à des mètres carrés.

Définir ou présenter la division comme un partage ou comme une mesure permet de construire de solides images mentales car le partage et la mesure font partie de notre quotidien. Malheureusement, ces images mentales nuisent à la compréhension de toutes les divisions qui ne sont pas des partages ou des mesures, comme cela se produit régulièrement avec les fractions, avec les nombres négatifs, avec les expressions algébriques et même avec les entiers positifs. Réussir à comprendre ces « divisions exceptionnelles » malgré l'enseignement reçu tient presque du miracle.

Il y a donc lieu de présenter la division en développant des images mentales qui résisteront au temps, en ne conduisant pas l'élève dans un cul-de-sac lorsqu'il abordera les fractions, les relatifs et l'algèbre. Tout comme en multiplication ( voir Mathadore n° 4 ), nous avons avantage à associer, dès le début, la division au rectangle. Cette figure est encore plus présente dans le quotidien que le partage ou la mesure. Elle permet de concrétiser efficacement toutes les divisions que nous pouvons effectuer sur les entiers, sur les fractions et sur les expressions algébriques.

En terminant, si vous croyez vraiment que diviser c'est partager et si vous avez des problèmes financiers, alors, un conseil : partagez ! Puisque 10 $ divisés par 1/2 égale 20 $...

Robert Lyons