MATHADORE
Volume 1 Numéro 31 - 10 décembre 2000

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques 

 
 
                     Analyse ou synthèse
 

Mathadore 27 posait trois problèmes. Chacun de ces problèmes peut être solutionné en une dizaine de secondes. Si vous y êtes parvenu, votre approche est globale, c’est-à-dire que vous avez vu le problème dans son ensemble d’abord et qu’ensuite vous avez effectué rapidement des calculs simples.

Mais, il y a fort à parier que, comme au moins 90% des adultes, vous ayez plutôt choisi une stratégie analytique ou logique. Dans ce cas, vous avez travaillé comme suit.

Pour calculer le nombre de parties de tennis que doivent jouer 100 participants afin de trouver un gagnant, vous avez d’abord pensé à une première ronde de 50 parties qui élimine 50 joueurs, puis à une seconde entre les gagnants afin d’éliminer, en 25 parties, 25 autres joueurs. Une difficulté surgit à la ronde suivante où il y a un joueur de trop. Celui-là aura une passe gratuite à une autre ronde, etc. Une chance qu’il n’y avait que 100 joueurs dans ce tournois !

Pour le problème du cube, vous avez d’abord pensé à six faces de 100 cubes, donc à 600 cubes touchés par la peinture. Puis vous avez constaté que certains étaient comptés deux fois, ceux des arêtes, ce qui vous a amené à enlever 120 cubes ( 10 x 12 ). Et les coins, ont-ils été comptés ? Combien de fois ? C’est une bonne façon, mais il ne faut pas perdre le fil conducteur qui se construit progressivement.

Enfin, l’approche analytique conduit, dans le problème où il fallait trouver le nombre de diagonales d’un polygone à vingt sommets, à construire une suite et à tenter d’en identifier la règle. Ainsi, vous avez trouvé que le triangle n’avait aucune diagonale, que le rectangle en avait deux, que le pentagone en avait cinq, que l’hexagone en avait neuf,… Ceci permet de trouver une règle, donc une formule. Mais cette formule n’est vraiment pas évidente et il faut passablement de temps pour la mettre au point. 

Essayons maintenant en prenant du recul avant de se lancer dans diverses combinaisons logiques des données de chaque problème. Pour le problème des joueurs de tennis : Chaque partie jouée élimine un participant et il faut en éliminer 99 pour trouver le gagnant. Donc, il faut jouer 99 parties ! Pour le problème du cube : Pensons plutôt aux cubes qui ne seront pas touchés, ceux qui sont à l’intérieur. Il y en a 8 x 8 x 8, donc 512. Comme le grand cube compte 1000 cubes ( 10 x 10 x 10 ), 488 cubes ( 1000 – 512 ) seront touchés par la peinture. Pour le problème des diagonales : Dans un polygone, on peut, à partir d’un sommet, faire exactement trois diagonales de moins que le polygone a de sommets. En effet, il faut éliminer les deux sommets voisins et le sommet d’où partent les diagonales. Donc, si nous avons vingt sommets, on pourra tracer dix-sept diagonales à partir de chaque sommet. Ceci est vrai pour chacun des vingt sommets d’où : 20 x 17 = 340 diagonales. Mais, chaque diagonale est ainsi comptée deux fois, une fois pour chacun des sommets qu’elle réunit. Il faut donc diviser par deux, donc il y a 340 / 2 = 170 diagonales.

Considérant ce qui précède, il est clair qu’au moins deux approches sont possibles afin de résoudre certains problèmes. Or, lorsque nous demandons aux élèves de suivre une démarche du genre :

1  Ce que je connais. 
2  ...
3. Ce que je cherche. 
4  ... 
5  ...

Nous privilégions habituellement une approche peu créative, une approche où l’on tente de comprendre et de solutionner le problème par analyse, pas à pas. L'ordinateur est le champion de l'analyse, de la logique, du pas à pas et pourtant, il ne comprend rien ! 

L’élève qui prend une approche globale, analogique, celui qui tente d’abord de comprendre le problème en considérant les données dans leur ensemble, utilise une démarche qui cadre peu avec les diverses étapes de résolution que nous proposons aux élèves. Celui-là en est réduit à résoudre d’abord le problème à sa manière et ensuite, lorsqu’il a terminé, à nous le présenter en suivant un plan qui, en théorie, a pour but de faire comprendre le problème. Est-ce possible alors qu’il cesse d’exploiter son approche globale pour se familiariser avec l’approche analytique ? Est-ce à cause de cela que la majorité des adultes prennent l’approche analytique ou est-ce parce que cette approche est naturellement plus répandue ? Qui sait !

Il me semble qu’il faudrait inciter plus souvent les élèves à prendre d’abord du recul devant un problème, à être analogique, créatif, à tenter d’associer ce problème avec une situation réelle mieux connue. Il me semble aussi que les élèves de 5, 6 ou 7 ans sont beaucoup plus créatifs que leurs aînés en résolution de problèmes. Est-ce parce qu’ils n’ont pas encore été embrigadés dans une démarche systématique de résolution de problèmes ? Est-ce possible que l'observation minutieuse de chaque arbre aide peu à comprendre l'ampleur et le type de forêt dans laquelle nous sommes ?
 

Robert Lyons
 

La semaine prochaine : Métier : bouletière

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