MATHADORE
Volume 1 Numéro 32 - 17 décembre 2000

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques 

                                     Métier : bouletière 
 

Temple d'Ourouk,
Sud de la Mésopotamie,
4 100 ans av. J.-C..

Ses parents l'avaient surnommée Haboka, la rebelle. Le jour où elle avait quitté Larsa pour aller travailler au temple de la vénérée cité d'Ourouk, elle avait eu droit à une sévère remontrance de sa mère pour lui rappeler le respect de la tradition : « Oublie tes idées prétentieuses et tes argumentations à propos des coutumes et des lois. D'autres plus doués et plus puissants que nous ont convenu de ces règles. Tu dois t'y soumettre et les suivre fidèlement. Les maîtres de la cité d'Ourouk ne te pardonneront pas aussi facilement que nous tes défis à l'autorité ! »

Alors que ses mains rougies et usées par la manipulation de l'argile la faisaient souffrir, elle repassait en esprit ce pressant avertissement. Le métier de bouletière n'avait pourtant rien de bien menaçant à ce propos. Sous la protection du Maître des comptes, elle habitait une modeste pièce de la maison de l'intendante construite au coeur de la cité, à un jet de pierre du Temple : deux repas par jour, un toit où dormir et l'assurance de ne souffrir d'aucune des pénuries qui frappaient si rudement et si régulièrement le peuple.

Les jetons d'argile façonnés par les jeunes employées de la bouleterie servaient à enregistrer toutes les transactions du Maître des comptes, le grand comptable de la cité : des disques marqués d'une croix pour rappeler chaque mouton payé par les éleveurs en guise d'impôt, des boulettes en forme d'oeuf pour représenter chaque jarre d'huile entreposée dans les greniers de la cité, des pyramides pour enregistrer les jours de travail de tous les hommes engagés sur les chantiers du temple...

Au début, Haboka s'était étonnée de  toute cette incroyable panoplie de jetons. « Pourquoi le Maître utilise-t-il des jetons différents pour compter des moutons, des jours ou des jarres ? Ne serait-il pas plus simple de tout compter avec un seul type de jeton ? Je suggérerais des petits boudins, ils sont si simples à façonner et ils rappellent la forme des doigts. Tiens ! Moi, par exemple, je compte tout sur mes doigts, pas besoin de doigts différents pour compter des oeufs ou les membres de ma famille ! » Haboka n'oublierait jamais la réaction de Tinora, son amie travaillant elle aussi à la manufacture de jetons, quand elle lui avait confié ces réflexions. Horrifiée, Tinora l'avait d'abord dévisagée : « Tu es folle ou quoi ? Oser proposer une pareille idée ! Je te suggère de ne jamais répéter cette hérésie. Le Maître des comptes risque de te faire arracher la langue... »

Quand la pénurie d'argile commença à se faire réellement sentir, la bouleterie ne produisait plus qu'à mi-régime. Normalement, plusieurs milliers de jetons sortaient quotidiennement de la manufacture et ce nombre avait dramatiquement chuté depuis que des affrontements avaient paralysé la plupart des carrières du pays. Les hommes s'étaient soulevés à cause des pénibles conditions de travail. Des rumeurs laissaient croire qu'il y avait eu plusieurs morts. Des cités voisines dépendaient également de la production de la bouleterie d'Ourouk et l'intendante ne savait plus où donner de la tête tant les exigences du Maître des comptes manquaient désormais de réalisme. Les bouletières l'entendaient souvent répéter à voix haute : « Il faut absolument trouver de l'argile ! Il faut absolument trouver de l'argile ! »

éveillée en pleine nuit, Haboka tentait de calmer son excitation et de mettre un peu d'ordre dans ses idées : « S'il est impossible d'obtenir plus d'argile, ne pourrait-on pas plutôt chercher un moyen de nous satisfaire de moins de jetons ? », se dit-elle d'abord. C'est précisément ce genre de réflexion qui lui avait valu l'épithète de rebelle. Mais, cette fois, tout le monde approuverait son idée géniale. Il ne lui restait plus qu'à trouver les mots respectueux pour la soumettre à l'intendante. Imaginez l'économie d'argile incroyable qu'elle leur ferait réaliser. La récompense serait certes généreuse.

En secret, Haboka avait concrétisé son idée en façonnant dix petits boudins ainsi qu'une boule minuscule, mais combien précieuse... Malgré son exubérance, elle avait retenu son idée pendant toute une autre semaine, reformulant intérieurement cent fois sa présentation. La pénurie s'aggravant de jour en jour, elle s'était finalement adressée à l'intendante : « Voyez ce boudin, il ressemble à un doigt. Il peut servir pour compter un mouton, un oeuf, un boeuf, un n'importe-quoi... Et quand plusieurs seront dénombrés, nous pourrions alors réaliser des économies... » En prononçant ces mots, elle jette les petits boudins sur la table de son atelier. La gorge nouée par l'émotion, elle en déplace lentement cinq d'un côté et cinq de l'autre. Puis, elle ouvre lentement ses deux mains pour illustrer la ressemblance, exposant du même coup la boulette d'argile. D'un geste solennel, elle ramasse les dix boudins et dépose la petite boule couleur ocre à leur place : « Quand tous les doigts de n'importe-quoi sont réunis, on les remplace par une boule. » Joignant le geste à la parole, elle forme de ses deux mains réunies une boule semblable au jeton d'argile utilisé. Gardant l'effet dramatique pour la fin, elle conclu « Et les boudins ainsi remplacés peuvent servir à nouveau pour ajouter d'autres n'importe-quoi ! »

La réplique de l'intendante avait fouetté l'air comme une gifle : « Pauvre idiote ! Et comment le maître fera-il pour savoir s'il s'agit de moutons plutôt que de boeufs ? » Sentant le triomphe de son idée proche, Hoboka avait immédiatement répliqué : « En ajoutant au lot, un jeton-mouton qui ne compte pas ! »

De retour à Larsa, la petite bouletière se souvenait de la lueur d'admiration qui avait traversé le regard de l'intendante après sa dernière réplique. Mais, elle n'arrivait toujours pas à s'expliquer pourquoi son visage s'était ensuite durci avant qu'elle se mette à hurler : « Tu es congédiée ! ! !  Il faut absolument trouver de l'argile ! Il faut absolument trouver de l'argile ! »

Hoboka aurait pu se consoler si elle avait su que sa merveilleuse idée serait redécouverte par un savant astrologue pour donner naissance au plus ancien système de numération connu, six siècles plus tard dans la grande cité de Sumer...

Questions :
1. L'invention de Hoboka montre le passage de l'énumération à la numération. Dans le premier cas, chaque unité est explicitement représentée, alors que, dans le cas de la numération, des unités d'ordre supérieur (des groupes ou des groupes de groupes) sont utilisées. Comment la petite bouletière peut-elle représenter 45 jours de travail avec son système ?
2. Quelle économie de jetons d'argile cela lui permet-il de réaliser ?

Réponses aux questions de Mathadore 30 :
1. En regroupant ses entailles par petits groupes de cinq, Kiko utilise peut-être la main comme analogie. Il est également possible qu'il se laisse guider par ses perceptions visuelles. Il est en effet démontré que l'oeil humain n'arrive pas à capter un nombre d'objets alignés quand celui-ci est supérieur à quatre. Pour s'en tirer, l'oeil fait alors appel au cerveau qui réagit soit en dénombrant un à un les objets (ce qui est exigeant), soit en formant des groupes (ce qui est plus économique au moment de faire des comparaisons ou des vérifications). Le fait que Kiko ait regroupé ses groupes de cinq par lots de trois rend également la lecture de ses marques plus facile, pour des raisons semblables. 
2. Les bases de numération adoptées dans l'histoire du calcul et actuellement connues sont : dix (par de très nombreux peuples à cause de nos doigts), vingt (en Amérique du Sud et en Europe à cause du calcul sur les doigts et les orteils) et soixante (en Mésopotamie, probablement à cause des nombreuses possibilités de divisibilité qu'offre ce nombre : par 2, 3, 4, 5, 6...). Il faudrait ajouter la base deux, inventée par le mathématicien Leibniz il y a environ trois siècles et oubliée par la suite jusqu'à sa triomphante récupération en informatique, il y a cinquante ans. D'autres groupements ont aussi connu beaucoup de popularité, sans pour autant donner naissance à des numérations utilisant ce groupement de façon récurrente, comme base. Il s'agit du groupement par cinq et de celui par douze (très apprécié en mesure, principalement parce qu'il est le plus petit nombre divisible par 2, 3 et 4). 

Michel Lyons

Le prochain numéro (sera publié le 7 janvier 2001) : Il y a MATHS et maths.

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