MATHADORE
         Volume 1 Numéro 45 - 8 avril  2001

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

           Avant la numération : la multiplication

Personne ne conteste que les mathématiques se sont construites progressivement : une nouvelle idée découlant souvent de ce qui était déjà acquis. Pour cette raison, l’histoire des mathématiques peut aider à construire une séquence d’apprentissage.

En consultant cette histoire, mais aussi en analysant de près le système de numération positionnelle, il est possible de comprendre une des causes de difficultés en numération. Prenons le nombre 57. Il est en fait une représentation extrêmement compacte sous laquelle se cachent 5 dizaines et 7 unités ou 5 x (1 dizaine) + 7 x (1 unité). Les positions respectives occupées par le 5 et le 7 sous-entendent des valeurs multiplicatives. Pour nous, cela est évident mais comment l’élève de six ou de sept ans peut-il comprendre vraiment le sens du nombre 57 s’il n’a pas déjà développé le concept de multiplication ?

à plusieurs occasions, j’ai eu la possibilité de demander à des élèves de six ans combien il fallait de contenants de jus pour que chaque élève de la classe en ait un. Habituellement, ils répondaient sans hésiter. Ils savent même comment écrire le nombre d’élèves, supposons 25. Compter jusqu’à 25, savoir comment noter ce nombre, c’est très bien, mais savent-ils vraiment ce que ces symboles représentent?

Si vous leur demandez combien de contenants il faut prendre, certains vous répondent « deux avec cinq ». S’ils ne le disent pas, mais que vous placez deux contenants sous le « 2 »  et cinq autres sous le « 5 », ils croient qu’il y en a suffisamment. Puis, lorsqu’ils constatent qu’il en manque, ils concluent que « vingt-cinq » ne s’écrit pas    « 25 ».

Plus tard, lorsqu’ils devront effectuer 42 – 18, ils trouveront 30 ou 36 comme réponse en ne voyant pas comment faire 2 – 8. En fait, pour eux, il n’y a aucun lien entre les unités et les dizaines une fois que les unités ont été transformées en dizaines.

Dans un enseignement de type constructiviste, où l’élève construit lui-même ses apprentissages, plutôt que de mémoriser ce qu’il faut faire, il est évident que l’apprentissage du concept de multiplication doit précéder celui de numération. En effet, il suffit de remettre environ cinquante jetons aux élèves de six ou de sept ans, qui n’ont pas appris à écrire les nombres au-delà de neuf, pour les voir soit faire des groupements, soit compter sans ordonner les jetons.

Devant un grand nombre de jetons, au moins trente, l’enfant, comme l’adulte, sent le besoin d’organiser la quantité à dénombrer. Or, si le concept de multiplication est acquis, il fera des paquets égaux. Dans le cas contraire, il ne pourra qu’utiliser le concept d’addition et il comptera les jetons un après l’autre.

L’élève qui n’a pas acquis le concept de multiplication, mais que l’on incite à faire des paquets, considérera qu’une fois les unités regroupées en dizaines, ces unités disparaissent. Ainsi, dans 38, il dira qu’il y a 3 dizaines et seulement 8 unités. À ce sujet, nous connaissons tous les prouesses de certains manuels afin que tantôt l’élève réponde qu’il y a 8 unités ( Quel est le chiffre qui occupe la position des unités ? ) alors qu’en d’autres occasions, il doit dire qu’il y en a 38. ( Combien y a-t-il d’unités en tout dans 38 ? )

L’élève qui comprend la multiplication comprend que dans 38, le 3 représente à la fois des dizaines et des unités. Il est capable d’envisager un même objet sous deux aspects différents. Ceci se manifeste de diverses façons. Ainsi, si vous avez un dessin, où figurent trois ours et deux tigres, et que vous lui demandez s’il y a plus d’ours ou plus d’animaux, il répondra correctement, considérant que les ours sont à la fois des ours et des animaux. Si le concept de multiplication n’est pas acquis, il dira qu’il y a 3 ours et 2 animaux. En numération, il verra dans « 32 »  3 dizaines et 2 unités, les dizaines n’étant plus des unités.

Bref, si vous enseignez la numération positionnelle assurez-vous que vos élèves aient déjà acquis le concept de multiplication, c’est-à-dire, qu’ils peuvent considérer à la fois et conjointement deux aspects d’un même objet. C’est d’ailleurs à ce moment que les élèves accèdent au stade opératoire concret. Désormais, les diverses conservations des liquides, des masses, des formes et des nombres sont acquises. Dès lors, ils peuvent comprendre et même inventer la numération positionnelle.

Afin de permettre aux élèves de redécouvrir les mathématiques, il faut respecter à la fois le rythme d’apprentissage des élèves et la séquence de développement des mathématiques. Pour les adultes que nous sommes, ce n’est pas évident parce que notre maîtrise de nombreux apprentissages nous empêche de percevoir que tel apprentissage doit précéder tel autre. En guise d’exemple, en numération orale, comprendre le sens de « vingt-quatre » et le distinguer de celui de « quatre-vingts » est facile pour un adulte. Mais pour un élève qui n’est pas familier avec la multiplication, comment peut-il distinguer le premier nombre qui signifie 20 + 4, du second qui représente 4 X 20 ?

NOTE : D’ici quelques jours, pour vous aider à mieux comprendre, entre autres, l’ordre idéal des apprentissages au premier cycle,  vous pourrez lire sur http://www.mathadore.com une série de textes qui décrivent les clés essentielles du succès en enseignement des mathématiques aux élèves de six et de sept ans.

Robert  Lyons 
 
 

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