MATHADORE
         Volume 2 Numéro 61 - 4 novembre  2001

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                 Des jetons d’argile pour faire comme si…
 

La Presse
Montréal, le 31 mars 2222
Calcul non assisté : des centaines de jeunes participent déjà !

Le projet de recherche du Musée de neuro-histoire des mathématiques a pris son envol et des centaines de jeunes volontaires de 8 à 12 ans ont déjà complété une première mission en égypte pharaonique. En effet, plusieurs écoles de la Mégapole est-atlantique ont choisi de ne pas attendre les résultats du projet-pilote et se sont engagées dans l’aventure.

Universitaire chevronnée en enseignement et coordonnatrice du projet, le Dr Caroline Lovato s’est montrée ravie de cette coopération spontanée. « Des dizaines d’écoles participent, à distance, à l’expérimentation grâce au cyber-courrier électronique » nous a-t-elle laissé savoir lors de son dernier point de presse. « La première mission a permis à des centaines de jeunes de faire la preuve que nous avions absolument raison de leur faire confiance. À ce jour, les découvertes qu’ils nous ont permis de faire sont capitales pour la préparation de la séquence d’apprentissage que nous sommes à mettre au point à l’intention des générations futures. »

Le célèbre professeur octogénaire Samuel Markov semble, pour sa part, extrêmement enthousiaste. « Je m’amuse comme je ne l’avais pas imaginé » a-t-il lancé avec conviction. « J’ai même parfois l’impression de rajeunir ! à mon âge, découvrir les secrets cachés du calcul me fascine au plus haut point. Jamais je n’aurais cru me laisser autant prendre au jeu. » 
(…)

Montréal
Musée de neuro-histoire des mathématiques
Le 2 avril 2222

La table-écran projetait dans la bibliothèque une lueur bleue qui donnait aux objets de la pièce des allures fantomatiques. En préparation de l’imminente nouvelle mission vers le passé de l’histoire du calcul, le professeur Samuel Markov consultait une dernière fois les notes préparées par le docteur Caroline Lovato.

                                              Mésopotamie

           Bande de terre de l'Asie occidentale qui partait des hauteurs de l’Irak actuel pour    
           descendre jusqu’au golfe Persique, entre le Tigre et l’Euphrate. D’où le nom qu’on 
           lui a donné : Mésopotamie, le pays entre deux fleuves. La Mésopotamie a vu naître 
           l’agriculture, l’élevage, la roue, la voile, la poterie, la comptabilité, l’astronomie, le 
           calcul concret, l’écriture… Ce pays a véritablement donné naissance à la civilisation.

                                                    élam

           Ancien état situé dans le sud-ouest de l'Iran actuel qui désignait, à l’époque, la
           plaine Susiane. Siège d'une grande civilisation dès le Ve millénaire, l'élam, dont la
           capitale était Suse, devint aux XIIIe-XIIe siècle av. J.-C. un puissant empire.

La première mission avait donné lieu à des constatations importantes et la coordonnatrice du projet avait opté pour un voyage dans un monde ayant précédé de plusieurs siècles celui où avait vécu le scribe Ahmès. Les apprentis-archéologues du projet pourraient y consolider les compétences de base concernant les premières numérations ayant également donné lieu aux premiers calculs humains non assistés.

Dans l’intercom, la voix du Dr Lovato se fit soudainement entendre et le professeur savait que l’heure était enfin venue de rejoindre les jeunes au laboratoire. Les apprentis-archéologues s’étaient déjà engouffrés dans les nacelles de voyage virtuel et tous s’affairaient à mettre leur neuro-casque.

- Parbleu ! Je vois que mes apprentis-archéologues sont fins prêts pour entreprendre la deuxième mission. J’arrive, ne partez pas sans moi ! lança l’octogénaire en entrant au laboratoire.

Mission 2
Temple de la cité de Suse
Pays d’élam, Mésopotamie
3300 ans av. J.-C.
Visite à la Maison des comptes

Dès les premiers instants, les jeunes ressentirent l’écrasante chaleur ambiante et il leur fallut plusieurs secondes avant de prendre conscience de l’assourdissant chahut régnant sur la place publique où ils se trouvaient maintenant. Des dizaines de charrettes tirées par des bœufs, plus gros qu’ils n’en avaient jamais imaginé, circulaient dans une vaste cour située à l’avant d’une magnifique construction de pierre et de briques d’argile, le temple de la cité de Suse. Un nuage de poussière enveloppait la scène et tous eurent le réflexe de porter une main à la bouche. Des hommes au torse nu chargeaient et déchargeaient des marchandises disparates : sacs de grains, poterie, étoffes diverses, urnes, paniers de lapis-lazuli… Les serviteurs à la peau cuivrée et ruisselante de sueur allaient et venaient avec leur fardeau en s’arrêtant immanquablement près d’une imposante table de bois derrière laquelle se tenait bien droite une femme menue aux cheveux couleur d’ébène. C’est elle qui semblait conduire cet hallucinant ballet humain. Les fonctionnaires du temple qui tournoyaient autour de ce bureau à ciel ouvert l’appelaient Maruhtu, la maîtresse des comptes.

Bousculés et étourdis par cette foule affairée, les jeunes réussirent à s’approcher de la table, quand un fonctionnaire menaçant s’interposa : « Personne ne doit déranger Maruhtu quand elle fait les comptes du temple ! ». Aussitôt, la femme releva la tête et un large sourire illumina son regard amicalement dirigé vers les nouveaux venus.

- Détends-toi Hidalu ! Voici les jeunes invités dont je t’ai parlé. Venez près de moi que je vous entretienne un peu de mon travail. Je me nomme Maruhtu, et c’est moi qui veille aux comptes du temple de notre cité.

Les présentations furent cordiales, mais assez brèves car l’attention des jeunes avait rapidement été attirée par une longue boîte de bois faite de cinq compartiments et placée sur la table, juste à la portée de leur bienveillante hôtesse. La boîte contenait des jetons d’argile soigneusement classés en fonction de leur forme (figure 1) : cylindres, disques, boules, petits cônes et grands cônes marqués d’une perforation.

- On dirait des bonbons ! blagua l’un des jeunes apprentis-archéologues.

- Ça ressemble plutôt aux tiroirs-caisses des magasins où les caissiers déposent les kilodollars, suggéra la jeune visiteuse qui se trouvait maintenant juste devant la boîte à compartiments.

Maruhtu les regardait d’un air intrigué.

- Des bonbons ? Des kilodollars ? Mais de quoi parlez-vous donc ? Bon, de toute façon, nous sommes un peu bousculés et j’ai bien peu de temps pour répondre à vos nombreuses questions. En fait, ces jetons me servent à effectuer les comptes du temple. Toute la marchandise que nous recevons ici provient des impôts que doivent payer les nobles et les commerçants d’élam. Chaque contribution doit donc être minutieusement vérifiée et enregistrée. Les cailloux d’argile servent à…

- Faire comme si ! crièrent en chœur les jeunes qui se rappelaient évidemment les paroles du scribe Ahmès (Mathadore 59) décrivant son petit jeu de l’esprit avec les signes égyptiens.

- Oui, si on veut, concéda Maruhtu, sans trop comprendre les allusions de ses jeunes visiteurs. Voyez ce petit lot de jetons posés sur la table (figure 2). C’est le nombre de pièces d’étoffes de laine qui sont empilées ici, à côté de moi.

Machinalement, l’apprenti-archéologue qui se trouvait justement de ce côté se mit à compter les pièces de laine. Il y en avait exactement trente-sept. Aussitôt, la comptable se retourna vers l’homme qui venait de déposer un immense lot d’étoffes de chanvre sur le sol en face de la table.

- Et en voici d’autres que je vais compter devant vous, lança-t-elle à ses élèves attentifs, tout en s’affairant aussitôt.

Les jeunes furent alors les témoins stupéfaits de l’incroyable expertise de Maruhtu. Pendant qu’un fonctionnaire déplaçait les étoffes sous ses yeux, la comptable déposait autant de petits cylindres qu’elle regroupait ensuite en lots de dix, dès que cela devenait possible. Chaque lot de dix était subito presto remplacé par une petite boule, et chaque nouvelle étoffe de chanvre que lui présentait le fonctionnaire conduisait à l’ajout d’un nouveau cylindre. Quand suffisamment de boules avaient été accumulées, l’experte les remplaçait à leur tour par un petit disque d’argile. On aurait dit une virtuose faisant courir ses doigts sur un synthétiseur arithmétique !

Il lui fallut à peine deux minutes pour dénombrer les cent quatre-vingt-quatorze étoffes de chanvre contenues dans le second lot (figure 3). Les jeunes se mirent à applaudir tellement la performance à laquelle ils venaient d’assister leur avait coupé le souffle.

Rougissant de plaisir, Maruhtu enchaîna :

- Maintenant que chaque lot a été dénombré, il me reste à calculer le nombre total d’étoffes apportées par ce marchand syrien.

Lentement, pour permettre à ses élèves de suivre chacun de ses gestes, la comptable du temple de Suse réunit les deux lots en un seul. Après avoir regroupé les jetons identiques, quelques échanges furent de nouveau effectués pour ne laisser qu’un nombre réduit de jetons représentant la somme recherchée (figure 4).

L’après-midi vit se succéder, de façon ininterrompue, nobles et commerçants transportant chacun leur tribut de marchandises diversifiées. À chaque fois, Maruhtu commentait patiemment ses manipulations savantes. Quand la comptable dut effectuer un calcul lui permettant de soustraire 43 jarres d’huile d’un lot de 215, Maruhtu prit la peine de faire une précision :

- Voyez ces jetons (figure 5), ils représentent les 215 jarres de ce marchand venu de la cité d’Anshan. Il faut retirer du lot 43 jarres d’huile pour connaître le nombre de jarres vides dans la moitié desquelles les serviteurs du temple pourront verser le lait et dans l’autre, l’eau potable. Les jetons ne permettent pas de retirer 43 jarres, mais un simple échange transforme le visage de 215 (figure 6) de façon à rendre possible la soustraction. Voilà donc un petit changement qui ne change rien, mais qui est d’un grand secours ! avait-elle conclu, après avoir remplacé un disque par plusieurs boules dans une suite de gestes intentionnellement amplifiés.

Les apprentis-archéologues reconnurent dans sa technique un procédé utilisé par le scribe Ahmès (Mathadore 59, figures 3 et 4). Malgré les apparentes différences entre les chiffres égyptiens et les jetons élamites, les jeunes constataient de plus en plus l’évidente parenté qui rapprochait ces numérations primitives.

La nuit était presque tombée quand Maruhtu effectua son dernier calcul. L’opération consistait à faire le compte de quatre charrettes contenant chacune cent trente-six sacs de blé. Méthodiquement, elle avait compté chacun des lots tout en accumulant les jetons représentant chaque fois le nombre cent trente-six. Systématiquement, elle avait ensuite regroupé les jetons en un seul lot pour finalement aboutir au grand total (figure 7).

Fatigués par cette longue présence sous un soleil de plomb, les apprentis-archéologues avaient perdu le fil de cette ultime manipulation. Tout en se promettant de refaire la démarche de Maruhtu à leur retour au Musée, ils remercièrent chaleureusement la comptable, elle aussi épuisée après une journée aussi chargée.

- Revenez me voir quand vous voulez ! La prochaine fois, vous pourrez sûrement faire le travail à ma place…

Montréal
Musée de neuro-histoire des mathématiques
Salle des discussions

à nouveau réunis dans le petit amphithéâtre du Musée, les jeunes discutaient avec passion. Ce furent surtout les grandes ressemblances rapprochant le système égyptien de la numération élamite qui retinrent l’attention. Comme elle l’avait fait au retour de leur première mission, le docteur Lovato nota soigneusement les questions soulevées par les jeunes suite à leur second retour aux sources du calcul.
1. Où se situaient la cité de Suse et le pays d’élam ?
2. À quoi ressemblait la première écriture ?
3. Comment fabriquait-on les jetons d’argile utilisés pour calculer (le verbe vient du mot latin calculus - voir Mathadore 22 - et qui veut dire, littéralement, petit caillou) ?
4. Quelle est la valeur de chaque sorte de jetons utilisés par Maruhtu ?
5. Quelle était donc la valeur du cinquième type de jeton ?
6. Combien de jarres du marchand venu d’Anshan sont destinées à contenir l’eau potable du temple ?
7. Pourrions-nous trouver d’autres visages de 215 en recourant aux jetons d’argile ?
8. Comment effectuer toutes ces opérations de base en utilisant uniquement les jetons de la comptable de Suse ?
- 457 + 289
- 526 – 168
- 4 x 217
- 536 / 4
9. Plusieurs jeunes ayant vu un rapprochement entre les jetons de Maruhtu et la monnaie, pourrait-on effectuer les mêmes opérations en utilisant uniquement des kilodollars ?
10. Autant Maruhtu que le scribe Ahmès utilisaient un système recourant à des groupements par dix. Nos nombres modernes et nos kilodollars comportent eux aussi le recours au groupement par dix. Pourquoi le dix a-t-il été si populaire dans l’histoire du calcul ?

Suivit une période animée d’échanges et de discussions qui permirent de répondre à plusieurs questions. Celles demeurées sans réponse furent réparties entre les équipes et reportées au moment où il serait possible d’utiliser les puissants moteurs de recherche et les ressources innombrables du Musée.

Michel Lyons

N.B. : Les kilodollars sont des pièces de plastique dont la valeur varie en fonction de la couleur. Il y a des pièces de 1 k$, 5 k$, 10 k$, 50 k$, 100 k$ et 500 k$ rappelant les antiques billets de banque en papier utilisés jusqu’au milieu du XXIe siècle.
 

Message aux parents ou aux enseignants ayant inscrit des jeunes

Comme nous l’avons fait au cours de la première mission, nous vous expédierons bientôt par courriel du matériel reproductible (dont les kilodollars et les jetons d’argile) pour vous permettre de réaliser la deuxième mission. 

Enfin, pour susciter l’intérêt des jeunes, nous vous suggérons de demander aux équipes de fabriquer leurs propres jetons en utilisant de l’argile sans cuisson (peu dispendieuse et disponible chez des marchands de matériel d’art) ou, sinon, de la pâte à modeler.

N’hésitez pas à nous communiquer vos questions ou vos commentaires en attendant la troisième mission.

à bientôt,

Dr Caroline Lovato
Pr. Samuel Markov

P.S. Il sera encore possible d’inscrire un groupe d’élèves au projet-pilote au cours des deux prochaines semaines. Après ce délai, nous ne pourrons plus augmenter la participation.