MATHADORE
         Volume 2 Numéro 77 - 10 mars  2002

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                         Le calcul à la plume
 

Montréal
Musée de neurohistoire des mathématiques
Le 27 août 2222

- Je suis vraiment fier des jeunes, confia le professeur Markov au docteur Lovato. La maîtrise du super-abaque demande beaucoup de concentration et d’efforts. Je dois dire que je me suis retrouvé à égalité avec leurs jeunes neurones au fil de cet apprentissage. Moi qui ai passé ma vie à profiter du bio-calculateur implanté dans mon cerveau, j’ai dû trimer dur pour raisonner par moi-même et comprendre les différents procédés de calcul...

- Les prochaines missions ne nous laissaient pas le choix, professeur, répliqua sa collègue, la directrice du Musée de neurohistoire des mathématiques de Montréal. Nous aborderons prochainement le calcul « à la plume » et les jeunes auront besoin des connaissances acquises sur les abaques pour poursuivre leur conquête réfléchie du calcul humain.

- Calcul à la plume, vous dites ??? Si ma mémoire ne me joue pas de tours, le mot « calcul » tire son origine des cailloux. Notre périple historique nous fait donc passer du caillou à la plume ! Serait-ce que nous assisterons prochainement à un certain allégement du calcul ?

à quelques heures de l’arrivée des apprentis-archéologues, le professeur Samuel Markov scrutait la documentation soigneusement sélectionnée par Caroline Lovato pour la prochaine mission. Plus que jamais, il ressentait le besoin de comprendre dans quel contexte social les progrès de la science et de l’art du calcul étaient survenus.

 
                                          

             Léonard de Pise (1170 à 1250)

Léonard de Pise, mieux connu sous le nom de Fibonacci (ce qui signifie littéralement fils de Bonaccio), est né à Pise vers 1170 et mort vers 1250. Dès son jeune âge, son père l'initie aux calculs des savants arabes en l’amenant avec lui dans ses nombreux voyages d’affaires, Il séjourna notamment en égypte et en Grèce où il fit ses études sous la direction d'un maître arabe. En 1202, il écrit un livre intitulé Liber abaci (Traité de l’abaque). Sachant que l’une des contributions majeures de cette oeuvre fut d’introduire le calcul recourant au zéro et aux neuf chiffres de la numération indoue, le titre peut sembler paradoxal. Il faut comprendre que les autorités ecclésiastiques européennes de l’époque voyaient d’un très mauvais œil ce calcul chiffré transporté par les Arabes. Fibonacci choisit probablement d’adoucir l’impact de son ouvrage en associant son titre à l’abaque, instrument de calcul plus « conforme » aux dogmes de l’époque.
 
à voir les jeunes se précipiter vers les nacelles de voyage virtuel et enfiler à la hâte leur neuro-casque, le professeur Markov ne put s’empêcher de penser que les heures passées à s’approprier le fonctionnement de son super-abaque n’avaient certainement pas autant de charme que les voyages virtuels.

- Allons ! Le mathématicien le plus habile de toute l’époque médiévale chrétienne nous attend. 
 
Mission 7
école de commerce
Pise, Italie
Le 10 mars 1225

Pise était certes la plus importante ville commerçante de cette époque. Les rues grouillaient de passants affairés. Plusieurs discussions agitées fusaient devant les étals ou sous le portique des maisons. Des charrettes tirées par des chevaux circulaient à un rythme trépidant. L’école de commerce se dressait au milieu de cette cohue à laquelle elle n’était absolument pas étrangère. Venus de partout en Italie et de plusieurs pays voisins, les jeunes commerçants y étudiaient l’art et la science du négoce, de l’achat et de la vente de marchandises.

Aussitôt entrés dans l’imposant édifice de pierre, les apprentis-archéologues furent accueillis par une jeune fille au visage souriant. Autour d’eux, l’agitation était telle qu’ils avaient peine à l’entendre.

- Je m’appelle Alexandra. Je suis la nièce de Léonard Fibonacci. Il vous attend dans le bureau rectoral. Il y a en ce lieu beaucoup d’excitation en ce moment. Mon oncle participe depuis quatre jours au concours de mathématiques proposé par l’empereur Frédéric II. À ce jour, il a résolu tous les cas qui lui ont été posés et il étudie présentement le dernier problème de la liste. La tâche est ardue. Aucun des autres candidats n’est d’ailleurs encore parvenu à en résoudre ne fut-ce qu’un seul !

- On nous avait averti qu’il était un fort en maths ! répondit admiratif le jeune visiteur qui venait de serrer la main d’Alexandra.

- Mon oncle adore la science des nombres. Il est lui-même l’inventeur de nombreux problèmes qui ont obligé plusieurs savants à se creuser la caboche au cours des dernières années. Son plus célèbre casse-tête concerne la reproduction des lapins. La solution est une fort jolie suite que j’ai moi-même réussi à résoudre avec beaucoup de travail… et de plaisir !

Le groupe s’était lentement dirigé vers le deuxième étage de l’école et, au moment où Alexandra allait ouvrir la porte du bureau, un homme vêtu d’une toge noire et coiffé d’un curieux bonnet blanc sortit en trombe :

- Ça y est, j’ai trouvé ! Le dernier problème est résolu… Oh ! Bonjour Alexandra. Et bienvenue à vous, mes chers invités. Je crains que notre rencontre ne soit quelque peu écourtée. Je dois, sans plus attendre, rencontrer les évaluateurs et déposer ma solution. Alexandra, ma chérie, je te confie la tâche de leur transmettre la science que tu as si brillamment acquise dans cette école.

Visiblement confus et excité à la fois, Fibonacci s’excusa pour ce contretemps en s’éloignant au pas de course. Quand la porte se referma derrière eux, tous apprécièrent le calme enfin retrouvé. Sur le pupitre placé près de l’immense fenêtre à travers laquelle la lumière du jour inondait la pièce, un manuscrit était ouvert. Les jeunes sifflèrent d’admiration devant les symboles d’une incroyable complexité qui recouvraient les pages ouvertes du document.

- C’est le Liber abaci. Fibonacci l’a rédigé, il y a plusieurs années. Il contient toute la science arabe des nombres qu’il a rapportée de ses voyages. Encore aujourd’hui, l’ouvrage divise les savants. Certains admirent son contenu et cherchent à le répandre, d’autres prétendent qu’il faudrait le brûler avec celui qui a osé l’écrire…

J’étudie dans cette école depuis quatre ans et je devrais y passer trois vies pour acquérir les connaissances contenues dans le Liber abaci… Alexandra s’était dirigée vers une longue table de bois couverte de rouleaux de parchemin.

- Mon oncle m’a dit que vous vous intéressez au calcul. Je n’aurai pas de mal à vous enseigner l’addition et la soustraction, mais ne m’en demandez pas plus. Rares sont les étudiants de cette école d’élite qui abordent les autres opérations et je serais bien en peine de vous en parler, même superficiellement…

Après avoir étalé un parchemin vierge devant elle, Alexandra plongea gracieusement sa plume dans l’encrier. Avec des gestes mesurés, elle nota les nombres 486 et 259. Visiblement soucieuse de bien remplir la tâche que venait de lui confier son oncle, elle ralentit volontairement le débit de sa voix :

- Pour additionner 486 et 259, on les note soigneusement en alignant les positions, pour rappeler les colonnes de l’abaque. Mon regard se porte aux centaines. Et je dis (figure 1) : « Six cents. »

Poursuivant sa démonstration, Alexandra enchaîna.

- Sans bouger la plume, mon regard se porte maintenant sur les dizaines. Constatant qu’il y en a suffisamment pour augmenter ce qui est déjà noté, je rature et je dis (figure 2) : « Non, sept cent trente. »
 

Elle leva les yeux vers ses invités pour s’assurer que sa description était suffisamment claire.

Laissant la plume aux dizaines, je porte enfin le regard sur les unités. Constatant qu’il y en a ici aussi suffisamment pour augmenter ce qui est déjà noté, je rature et je dis (figure 3) : « Non, sept cent quarante-cinq. »

 

Les jeunes avaient attentivement suivi le raisonnement de la jeune commerçante et celui qui se trouvait en face d’Alexandra ne put s’empêcher de commenter la démonstration :

- J’ai l’impression que cette addition à la plume ressemble au travail réalisé sur un abaque. J’imagine chaque geste associé aux symboles, comme s’il s’agissait d’une fidèle description.

- Tout à fait, répliqua Alexandra. Au début, nous faisons d’ailleurs l’un et l’autre en parallèle pour éviter les erreurs de calcul.

Déroulant un autre manuscrit vierge, Alexandra passa ensuite à une soustraction à la plume qui, elle aussi, rappela aux jeunes apprentis le déroulement du travail sur le super-abaque. Aussi soigneusement qu’elle l’avait fait pour l’addition, elle nota cette fois les nombres 543 et 296.

- Pour soustraire 296 de 543, on les écrit en alignant les positions. Mon regard se porte aux centaines (figure 4). Et je dis : « Trois cents. »

S’interrompant un instant pour permettre à ses élèves de ne pas perdre le fil, Alexandra poursuivit sur le même ton son opération.

- Sans bouger la plume, mon regard se porte maintenant sur les dizaines. Constatant qu’il faudra diminuer ce qui est déjà noté, je rature et je dis (figure 5) : « Non, deux cent cinquante. »

 

Un tintamarre indescriptible envahit soudainement le couloir. Tous s’y rendirent aussitôt et furent irrésistiblement emportés dans le tourbillon de réjouissances qui venait d’éclater suite au verdict des juges. « Léonard est le plus grand ! Il a résolu tous les problèmes ! Fibonacci est la gloire de Pise ! »

La fête se poursuivit jusqu’aux petites heures du matin et les jeunes explorateurs du passé durent renoncer à la suite de la leçon. Mais déjà, le calcul à la plume leur avait révélé ses premiers secrets.
 

Montréal
Musée de neurohistoire des mathématiques
Salle des discussions

à nouveau réunis pour mettre leurs commentaires en commun, le groupe d’apprentis-archéologues dressa la liste des projets des semaines à venir. Caroline Lovato recueillait les idées et les questions.

1. Où se situe la ville de Pise ?
2. Que sait-on de la vie et de l’œuvre de Fibonacci ?
3. Quels sont donc ce problème et cette suite demeurée célèbre évoqués par Alexandra au sujet des travaux de son oncle ?
4. Peut-on refaire l’addition d’Alexandra et l’associer au déroulement sur le super-abaque ?
5. Peut-on compléter la soustraction inachevée d’Alexandra et l’associer elle aussi au travail sur le super-abaque ?
6. Les techniques raturées d’addition et de soustraction méritent certes, elles aussi, que nous prenions un peu de temps pour nous les approprier. Attaquons-nous donc à quelques exemples.

Alors que tout semblait avoir été dit, la voix du professeur Markov s’éleva.

- Un détail important me semble avoir été oublié. Personne n’a évoqué le fait qu’Alexandra accompagnait ses calculs d’une espèce de litanie : Je rature et je dis : « Non, deux cent cinquante. » N’aviez-vous pas remarqué ?

Le commentaire porta et tous se remémorèrent effectivement cette récitation machinalement chantonnée par Alexandra. Au début, la plupart des explorateurs du passé avaient cru qu’il s’agissait d’une forme d’explication adoptée pour leur expliquer les procédés. Mais en y songeant attentivement, tous se rappelèrent que leur hôte récitait ses ritournelles en baissant le ton.

- à mon avis, conclut le professeur Markov, les élèves de cette école devaient toujours accompagner leurs calculs à la plume d’une telle description orale. Et je parierais que cette pratique favorisait le calcul mental.

Sans hésiter, Caroline Lovato ajouta à la liste une suggestion que tout le monde se promit de mettre en pratique.

7. Accompagner tout calcul écrit ou sur le super-abaque de ritournelles semblables à celles récitées par Alexandra.

Et de le faire à voix basse, évidemment !
 

Michel Lyons