MATHADORE
         Volume 3 Numéro 110 - 16 février 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

        2x – 5y + 3z… pour des élèves de six ans
 
Dans Mathadore  vol3num103.html et  vol3num104.html,  nous avons présenté une façon simple d’introduire l’addition et la soustraction. Dans Mathadore  vol3num103.html, cette technique nous a permis de constater comment il est facile d’introduire les relatifs auprès d’élèves de six ans. Tout enfant de six ans qui effectue 5 – 2 = 3 ou +5 –2 = +3 peut effectuer –5 +2 = -3 sans difficulté. Apprendre, par exemple, que 4 – 7 est impossible au lieu de 4 – 7 = -3 conduit rapidement les élèves à une impasse lorsqu’ils doivent effectuer 34 – 17 et lorsqu’ils n’ont pas encore développé une aisance suffisante en numération positionnelle.

Dans Mathadore  vol3num104.html , nous avons utilisé la même approche afin d’additionner et de soustraire des fractions. Ici encore, cette activité est facile même à l’âge de six ou sept ans. Utilisée plus tard, elle permet aux élèves de faire en quelques minutes ce qui prend des heures avec une approche traditionnelle.

Avant d’utiliser le même système afin d’additionner des nombres notés en numération positionnelle de base dix, il convient de remplacer les fractions de gâteaux (voir Mathadore  vol3num104.html ) par d’autres objets concrets connus des élèves. Nous choisirons les pièces de monnaie ou les billets de banque.

                         

Ce tableau indique donc que l’équipe des plus ( + ) possède 3 dix cents, 4 cinq cents et 4 pièces d’un cent. De son côté, l’équipe des moins ( – ) possède 4 dix cents, 
1 cinq cents et 2 pièces d’un cent. Dans un premier temps, les élèves trouvent quelle équipe possède le plus grand nombre de pièces de chaque sorte. Ainsi ils trouvent que l’équipe des plus est avantagée relativement au nombre de pièces de 5 ¢ et de 1¢ ( +3 x 5¢ et +2 x 1¢ ), alors que l’équipe des moins est avantagée en ce qui concerne le nombre de pièces de 10¢ (-1 x 10¢ ).

Et maintenant, quelle équipe possède la plus forte somme ? Les élèves devront effectuer des transformations visant à éliminer en totalité l’avoir d’une équipe. Ils changeront peut-être le 10¢ de surplus de l’équipe des moins en deux pièces de 5¢, à moins que l’équipe des plus fasse l’inverse, soit changer deux pièces de 5¢ pour une pièce de 10¢. Quoiqu’il en soit, il sera alors facile de constater que l’équipe des plus est la plus fortunée, qu’elle possède un surplus d’un 5¢ et de 2 pièces de 1¢.

Il est bon de modifier les nombres sans changer les pièces de monnaie afin de faire deux ou trois autres exercices du même genre. Ensuite, proposez environ trois autres problèmes en utilisant des pièces de 25¢, 5¢ et 1¢. Si de telles activités ne sont pas réussies avant d’aborder l’addition et la soustraction sur des nombres de base dix, les élèves ne sont pas prêts pour ce dernier type de problèmes.

à ce stade, les élèves auront pu constater que les valeurs de chaque colonne sont relatives. Nous allons donc en profiter pour exprimer cette découverte par l’introduction de variables algébriques. Pas de panique, l’algèbre ne fait peur qu’aux adultes !

                                

Cette fois, l’équipe des plus possède 4x, 0y et 5z donc +4x +5z alors que l’équipe des moins possède 1x, 2y et 1z donc –1x –2y –1z. ( Note : écrivez 1x et non x pour l’instant. Ce n’est pas une erreur et cela facilite la compréhension. )

Et maintenant, voyons quelle équipe est avantagée. L’équipe des plus est avantagée en ce qui concerne les x : +4x –1x = +3x et aussi en ce qui concerne les z :
+5z –1z = +4z. Par contre, c’est l’équipe des moins qui est la plus avantagée en ce qui concerne les y : +0y –2y = –2y. Le bilan est donc +3x –2y +4z.

Si vos élèves ont effectué quelques problèmes avec les pièces de monnaie, ils ont pu constater que les valeurs représentées dans chaque colonne du tableau peuvent changer. Or, si nous ne connaissons pas ces valeurs, l’expression +3x –2y +4z ne peut être simplifiée davantage.

Vous pouvez faire un retour et procéder à une consolidation en reprenant l’expression +3x –2y +4z et en annonçant qu’il s’agit des buts marqués lors des trois périodes d’une partie de hockey. Donc +3x –2y +4z devient +3 –2 +4 = +5, l’équipe des plus a gagné par cinq buts.

Reprenez la même expression algébrique en mentionnant que cette fois il s’agit de gâteaux ou de morceaux de gâteaux, comme dans Mathadore  vol3num104.html . Les x représentent donc des gâteaux complets, les y, des demi-gâteaux et les z, des quarts de gâteaux. Dans ce cas, +3x –2y +4z = +3 –2/2 + 4/4 = +3.   L’équipe des plus est celle qui s’est gavée le plus. Même exercice avec les pièces de monnaie.

Il est bon de reprendre le tout en utilisant une expression telle +2x –5y +3z. Cette expression réserve en effet de belles surprises qui font comprendre le rôle des variables. Ainsi, s’il s’agit des points lors d’une partie de hockey, nous avons une partie nulle +2 –5 +3 = 0. S’il s’agit des gâteaux, nous avons +2 – 5/2 + 3/4 . Avec les pièces de 10¢, 5¢ et 1¢ nous obtenons. +20¢ – 25¢ + 3¢ = –2¢. Enfin avec les pièces de 25¢, 5¢ et 1¢ nous avons +50¢ –25¢ +3¢ = +28¢.

Un jeu d’enfant, même à six ans. Et pourtant, à treize ans, pour beaucoup d’élèves, +2x –5y +3z représente une expression bien mystérieuse…

Robert Lyons