MATHADORE
         Volume 3 Numéro 115 - 30 mars 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                           Comprendre n’est pas logique !

La compréhension et le raisonnement sont des processus fort différents. La compréhension est analogique alors que le raisonnement est logique.

Les personnes logiques ont développé leur capacité à se concentrer sur les données d’un problème et à les combiner de telle sorte qu’il leur est possible de tirer de nouvelles conclusions. Essentiellement, le fonctionnement logique est algorithmique, c’est-à-dire qu’il est encadré par un ensemble de règles qui, si elles sont appliquées correctement, au bon moment et sur les bonnes données, conduisent à la conclusion recherchée. Ainsi, deux personnes logiques travaillant sur le même problème devraient en arriver aux mêmes conclusions.

L’ordinateur est une machine qui fonctionne logiquement, c’est-à-dire que les programmes qu’il utilise le dirigent et l’encadrent. En fait, l’ordinateur est une super calculatrice. Il utilise des algorithmes plus complexes que ceux d’une simple addition, mais il ne pense pas, ne comprend pas.

La compréhension est analogique, elle n’est pas obtenue suite à un raisonnement aussi complexe soit-il, mais suite à un processus d’évocation qui dépend de la culture et de la créativité d’un individu. Un simple mot tel « blanc » nous rappelle divers souvenirs, divers objets, divers sentiments. Il y a peu de chances que ce mot évoque exactement les mêmes associations chez deux individus. Certaines seront communes, certaines reviennent plus souvent, mais l’ensemble des évocations varie énormément d’un individu à un autre.

Prenons un problème afin d’illustrer un comportement logique et un comportement analogique. Soit un cube plein formé de 1000 petits cubes encastrés les uns dans les autres. Si ces petits cubes mesurent 1 cm de côté, le grand cube mesurera donc un décimètre cube. Nous immergeons ce cube dans une teinture quelconque avant de le retirer. Nous constatons alors que seuls les cubes situés à la surface du grand cube ont été tachés. Combien de cubes ont été tachés ?

Tentez de résoudre ce problème avant de poursuivre votre lecture.

Comportement logique :

- Il y a 6 faces, chacune contient 100 cubes donc 6 x 100 = 600
- Les cubes formant les 12 arêtes ont été calculés deux fois dans le calcul ci-dessus, donc il faut enlever 12 x 10 = 120. D’où 600 – 120 = 480 cubes tachés.
- Il y a aussi les cubes des sommets. Ceux-là appartiennent à trois faces et ont donc été comptés trois fois chacun. Mais ils appartiennent aussi à trois arêtes, donc ils ont été enlevés trois fois chacun. Bref les 8 sommets ne sont pas inclus dans 480. D’où 480 + 8 = 488, donc 488 cubes ont été tachés.
 

Comportement analogique :

- Le cube compte 1000 petits cubes.
- Ceux qui sont à l’intérieur n’ont pas été tachés.
- L’intérieur est composé d’un cube de 8 x 8 x 8 = 512.
- Et ensuite :1000 – 512 = 488.

Comme on peut le voir, le comportement analogique est fort différent du comportement logique. Alors que le comportement logique ressemble plus à un processus réflexe, le comportement analogique résulte d’un processus où on prend d’abord une certaine distance par rapport aux données du problème. La personne qui utilise l’analogie tente d’abord de voir le problème dans son ensemble, sous différents angles. Elle ne se laisse pas embrigader dans un processus logique qui conduit certes à la bonne réponse lui aussi, mais, souvent, au prix d’un effort de concentration plus grand et sans un fil conducteur laissant entrevoir l’ensemble du processus de résolution. Bref, ce n’est pas parce que dans un problème on nous demande de trouver le nombre de petits cubes situés à la surface d’un grand cube, que nous n’avons pas le droit de penser au nombre de cubes qui sont à l’intérieur de ce grand cube.

Voici un autre problème. Imaginons qu’une ficelle fasse le tour de la planète en longeant parfaitement l’équateur. Cette ficelle est installée de sorte qu’il n’y a aucun espace entre elle et la planète. Coupons cette ficelle, ajoutons-lui une longueur de 6 mètres et répartissons également cette longueur de sorte que la distance entre la ficelle et la planète soit constante. Quelle est la distance constante qui sépare alors la ficelle de la planète ?

Pour vous éviter des recherches, sachez qu’à l’équateur, la circonférence de la planète est d’environ 40 076 km et que si vous prenez le nombre 3 comme équivalent à Pi, votre réponse sera acceptable.

Et en voici un autre. Cent cinquante (150) joueurs se présentent à un tournoi de tennis pour jouer en simple (un contre un). Selon la règle du tournoi, un joueur continue à jouer tant qu’il gagne ses parties. Et, en conséquence, dès qu’un joueur perd une partie, il est éliminé. Combien faudra-t-il de parties dans ce tournoi pour que soit déterminé le champion ?

Tentez de résoudre ces problèmes, demandez à vos proches de s’y mesurer aussi et observez leurs façons de s’y prendre. Lorsqu’une façon est trouvée, essayez d’en trouver une seconde. Vous remarquerez probablement des phénomènes intéressants sur lesquels nous reviendrons dans Mathadore 116.

D’ici la semaine prochaine, voyez donc si vos stratégies et celles de vos proches sont   analogiques ou logiques.

Robert Lyons