MATHADORE
         Volume 4 Numéro 134 - 23 novembre 2003

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

             La division : du concret au symbolique

Tel que mentionné dans  vol4num132.html , nous présentons cette semaine une seconde image mentale fondamentale qui permet d’illustrer tout problème sollicitant la fonction multiplicative, c’est-à-dire la multiplication, la division, la factorisation et l’extraction de la racine carrée.

Pour les lecteurs de Mathadore, cette image mentale ne sera pas une surprise. En effet, à plusieurs reprises (Voir vol2num61.html  vol2num67.html vol3num119.html) nous avons mentionné que le rectangle pouvait servir à illustrer toutes les multiplications sur tous les types de nombres. Cependant, nous avons peu insisté sur l’utilisation du rectangle pour la division. C’est le temps de le faire.

Soit la division d’un nombre a par un nombre b dont le résultat est un nombre c. Le nombre a, qui est connu, représente l’aire de ce rectangle, le nombre b, connu lui aussi, représente la largeur de ce rectangle, et enfin, le nombre c, qu’il s’agit de trouver, représente la longueur du rectangle.

Il s’agit donc de recouvrir un rectangle de largeur b avec un nombre a de tuiles afin de trouver la longueur c de ce rectangle.

Problème 1

Avec 12 tuiles carrées, il faut daller le rectangle suivant dont la largeur correspond à la largeur de 2 tuiles.

Tracez donc un rectangle ouvert sur un côté et demandez aux élèves de le daller afin de trouver quelle longueur du rectangle pourra être entièrement recouverte.
                                       
On constate que la longueur recouverte est subdivisée en 6 colonnes identiques. Par conséquent 12 ÷2 = 6. 

évidemment, ce rectangle peut aussi être utilisé pour illustrer que 12 ÷ 6 = 2 ou encore que 2 x 6 = 12  et que  6 x 2 = 12.

Problème 2

Cette fois, il faudra recouvrir un rectangle au moyen de 78 unités carrées. Ce rectangle aura une largeur de 3 unités.

Il a d’abord été possible de placer seulement 6 bâtonnets représentant 10 unités de longueur. Ainsi, 2 rectangles contenant chacun 3 réglettes ont été dallés, 60 unités ont donc été placées et la longueur recouverte du rectangle correspond à 2 x 1 dizaine. Notons-le.

                                            

Le bâtonnet restant a été transformé en cubes-unité et, avec les 18 unités alors disponibles, il a été possible de reproduire 6 fois une colonne de 3 cubes-unité. Cela a permis de daller une section mesurant 6 unités de longueur. Notons ce que nous venons de faire.

                                             

Problème 3

Passons maintenant à des nombres plus grands : 345 ÷ 3.

Bien sûr, nous pouvons utiliser des mètres pour représenter les centaines, mais cela devient de plus en plus difficile et limite la concrétisation des divisions à des nombres encore très petits.

Il est temps de faire comme si, c’est-à-dire de faire un pas vers un degré d’abstraction supérieur. Nous allons utiliser les réglettes et convenir que la réglette vert foncé ( 6 cm de longueur ) représente les centaines, que la réglette jaune ( 5 cm ) représente les dizaines et que la réglette rose ( 4 cm ) représente les unités. De cette façon, les réglettes mesurant de 7 à 10 centimètres pourront servir à illustrer les nombres jusqu’à dix millions. De plus, les réglettes plus petites ( roses, rouges et blanches ) seront utilisées pour illustrer, au besoin, les décimales. Il suffit de convenir qu’une réglette de longueur x peut être changée pour dix réglettes dont la longueur est d’un centimètre de moins. Voici ce que donne alors la division 345 ÷ 3.

                                          
Le pas qui vient d’être franchi, en attribuant aux réglettes des valeurs variables, nous permet non seulement de diviser des nombres entiers et des nombres décimaux, mais il permet aussi de diviser des nombres algébriques. En algèbre, la division du second problème se présenterait sous la forme : ( 6a + 18b ) ÷ 3 = 2a + 6b. Et celle du troisième problème serait : ( 3a + 3b + 15c ) ÷ 3 = 1a + 1b + 5c ou a + b + 5c.

Il faut observer qu’en algèbre, comme les rapports entre les variables ne sont pas connus, on ne peut, par exemple, changer un b pour 10c. Pour cette raison, la forme algébrique peut présenter des coefficients ( tel le 15 de 15c) supérieurs à 9.

Bref, c’est plus simple de diviser un nombre algébrique par un entier qu’un entier par un autre entier puisque, en algèbre, les transformations ne sont pas requises.

Les illustrations qui précèdent illustrent la division : 3,45 ÷  3 = 1,15 et la division :
( 3a + 3b + 15c ) ÷ 3 = a + b + 5c. Il a suffit de donner des valeurs différentes aux réglettes.

Un jour, les programmes de mathématiques prescriront l’enseignement d’images mentales suivi de l’apprentissage parallèle des divers systèmes numériques qui les décrivent. Espérons que ce jour arrivera avant que les hommes vivent d’amour, puisqu’alors, comme le dit un chansonnier célèbre :
                     « Mais nous, nous serons morts mon frère.». 

Dans deux semaines, nous verrons comment illustrer des divisions telle 651 ÷ 31 sans faire 31 rangées de réglettes.

Robert Lyons