MATHADORE
    Volume 5 Numéro 175 - 27 février 2005

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                L’image mentale en apprentissage

La construction d’une image mentale devrait constituer la « phase un » de tout apprentissage. Si l’image mentale est adéquate, elle permet d’identifier les propriétés et les applications du concept étudié. De plus, toutes les applications de ce concept ainsi que toutes ses représentations symboliques peuvent s’y référer.

Dans  Mathadore 174, la multiplication a été associée au rectangle. Si nous voulons étudier les propriétés de la fonction multiplicative (multiplication, division, factorisation et extraction de racines), le rectangle permet de le faire, et ce, bien avant l’introduction du symbolisme et du vocabulaire qui décrivent ces propriétés.

Commutativité – Un rectangle de 5 unités de longueur et de 3 unités de largeur est identique à un rectangle de 5 unités de largeur et de 3 unités de longueur.

Distributivité – Partager un rectangle de 3 rangées de 5 carrés en deux rectangles de 3 rangées, l’un possédant 2 carrés par rangée et l’autre 3 carrés par rangée, ne modifie pas la quantité de carrés. Exemple :
                              

Associativité – Pour trouver le volume d’un prisme mesurant 3 x 4 x 5, on peut d’abord trouver l’aire de sa base ( disons 3 x 4 = 12 ) et la multiplier par la hauteur du prisme ( 3 x 4 = 12,  puis 12 x 5 = 60). Le volume reste le même si on trouve d’abord l’aire d’une face (3 x 5 = 15) et si l’on multiplie le nombre obtenu par la largeur de la base (15 x 4 = 60).

élément neutre – Un rectangle d’une seule rangée possède le même nombre d’unités d’aire que d’unités de longueur : 1 x 7 = 7.

élément absorbant –  Un  rectangle  n’ayant   aucune   largeur   n’a   aucune  aire : 5 x 0 = 0. 

Opération inverse – Si l’aire d’un rectangle peut être trouvée lorsqu’on connaît sa longueur et sa largeur, inversement, à partir de l’aire d’un rectangle et de sa longueur, il est possible de trouver sa largeur. Exemple :
                               
En fait, 3 x 5 = 15 et 15 ÷ 3 = 5 décrivent le même rectangle.

Tout ce qui précède devrait être réalisé sans le recours au vocabulaire et au symbolisme mathématiques. La « phase deux » consistera à associer en parallèle différents modes symboliques aux images mentales. En ce qui concerne la fonction multiplicative, on utilisera les entiers positifs et l’algèbre.

Voici quelques exemples.
D’abord le carré :
                           
                             3 x 3 = 9                                5 x 5 = 25
                             c x c = c²                                 c x c = c²
         
                             

Il suffit simplement de mentionner que c représente le nombre d’unités du côté et que c2 montre que les 2 dimensions du rectangle sont égales, donc que ce rectangle est un carré.

Ensuite le rectangle :
                        
                             3 x 6 = 18                          4 x 5 = 20
                             a x b = ab                           a x b = ab
                             18 ÷3 = 6                          20 ÷ 5 = 4
                             ab ÷ a = b                          ab ÷ b = a

a est un côté, b est l’autre. Comme on n’utilisera qu’un seul rectangle dans chaque problème, on pourra garder les mêmes lettres, mais il est préférable de demander aux élèves de choisir des lettres différentes d’un problème à l’autre pour qu’ils perçoivent la souplesse de l’algèbre. 

Une idée : chaque élève choisit ses initiales. Une belle discussion : Andrée Alarie a nommé son rectangle aa, est-ce nécessairement un carré ? Et Marc Pouliot a nommé son rectangle mp, est-ce possible que ce soit un carré ?

Andrée doit avoir un carré, sinon a prend deux valeurs différentes. Par contre, Marc peut avoir un carré car rien n’empêche que m = p.

Robert Lyons

La suite dans deux semaines,  après la relâche scolaire.