MATHADORE
    Volume 5 Numéro 178 - 27 mars 2005

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                 Qu’est-ce qu’un problème ? (1)

Vous avez déjà raconté un problème qui vous préoccupe. Au bout de quelques instants, malgré votre récit de tout le contexte du problème ainsi que son énoncé, vous constatez que vous ennuyez royalement votre auditeur. Pour vous, le problème est réel alors qu’il n’existe pas pour votre interlocuteur. Comment peut-on alors définir ce qu’est un problème sachant que le même énoncé conduit à des réactions si éloignées ?

En fait, ce qui détermine si un problème existe est personnel. Cela se passe entre nos deux oreilles. Ce qui est un problème pour un n’en présente aucun pour un autre. Il y a bien sûr un facteur de motivation qui peut jouer, mais cela ne constitue qu’un critère.

Prenez un enfant de quatre ans et présentez-lui deux lignes de petits chocolats disposés comme suit :

                        

Demandez-lui de choisir une ligne alors que vous prendrez l’autre ligne. Lorsqu’il aura fait son choix, demandez-lui qui va en manger le plus, si chacun mange seulement les chocolats de la ligne qu’il a choisi.

à quatre ans, voici des réactions possibles.

1. L’enfant ne sait pas et n’accorde aucune importance à cette question.
2. L’enfant croit que la ligne la plus longue contient plus de chocolats.

Proposez alors de déguster les chocolats au même rythme, c’est-à-dire que vous en mangerez un chaque fois que l’enfant en mangera un. Voici ce qui peut survenir vers la fin ou à la fin de la dégustation.

1. L’enfant, ayant choisi la ligne la plus longue, n’accorde aucune importance au fait que vous terminiez après lui. Si, à la fin, vous lui demandez qui a mangé le plus de chocolats, il répond que c’est lui ou encore qu’il ne sait pas. Ce qui vient de se passer ne lui cause aucun problème.
2. L’enfant est étonné en voyant qu’il vous reste des chocolats alors qu’il a terminé les siens. Cet étonnement provient de la croyance qu’il avait, au départ, choisi la ligne ayant le plus de chocolats. Il est face à un vrai problème. Dans sa tête, deux concepts sont entrés en collision.

Reprenez l’expérience. Dans le cas du premier enfant, son comportement ne changera pas, il sera ravi de manger des chocolats, c’est tout. Dans le second cas, l’enfant  réfléchira avant de choisir sa ligne. Il est possible qu’il prenne alors la ligne la plus courte en pensant à ce qu’il vient de vivre. Pas de chance, cette fois, vous aurez disposé les chocolats de sorte que la ligne la plus courte contienne neuf chocolats et que la ligne la plus longue en contienne douze. Il est aussi très probable qu’il imite d’abord la dégustation en faisant correspondre du regard et du doigt un chocolat d’une ligne à un chocolat de l’autre ligne. Il est clair que cet enfant vit un problème et ce problème va le hanter jusqu’à ce qu’il le résolve. Ne croyez surtout pas qu’en mettant fin à l’activité, vous « sortirez l’élève » du problème. Au contraire, il transposera ce qu’il vient de vivre dans diverses situations quotidiennes afin de résoudre le conflit cognitif que l’activité a créé.

Et si l’enfant a cinq, six ou sept ans ? La première attitude décrite précédemment risque de ne pas apparaître. La seconde sera fréquente. Mais, un autre comportement apparaît : l’enfant compte spontanément les chocolats et choisit la ligne où il y en a le plus.

En fait, l’enfant applique cette fois un principe qu’il a déjà découvert. Il n’a aucun problème réel avec ce qui lui est demandé.

Bref, la même tâche constitue un véritable problème pour un enfant sur trois. Pour les deux autres enfants, le premier n’est nullement touché par la situation alors que le second la résout sans difficulté en appliquant des concepts déjà maîtrisés.

Il y a cependant un autre comportement possible. Pour le comprendre, voici une autre activité. Montrez à l’enfant une bouteille fermée et à moitié pleine d’un liquide quelconque. Montrez-là debout puis couchée et demandez à l’enfant de quatre à huit ans de vous dire s’il y a plus de liquide lorsque la bouteille est debout ou lorsqu’elle est couchée ou si c’est égal dans les deux cas.

Certains enfants vous regardent alors avec des yeux incrédules, ils se demandent d’où vous sortez une question aussi idiote. Ou encore ils pensent que vous voulez rire d’eux. Souvent, ils répondent en hésitant car la solution (qui est la bonne) est tellement évidente pour eux qu’ils se demandent s’ils ont bien compris ou s’il y a un piège.

Encore une fois, le même énoncé constitue un problème pour les uns, un piège pour quelques autres et ni l’un ni l’autre pour d’autres élèves. 

Voici un « problème » adressé à des élèves de onze ans :

Claude et Maxime ont invité des amis à souper. En cuisinant les pâtes, ils s’interrogent d’un air inquiet : « Avons-nous suffisamment de pâtes pour tout le monde ? Ils disent alors : « Cassons les spaghettis en deux, nous en aurons plus! ».
Claude et Maxime ont-ils raison ? Pourquoi ? ( Une famille nombreuse. Prototype d’épreuve en mathématiques pour la fin du 3e cycle, Ministère de l’éducation du Québec,  juin 2004.)

Vous êtes un élève de sixième année, à qui on pose cette question, vous vous retrouvez alors dans une des trois situations suivantes.

1. Ce problème touche la conservation de la matière, laquelle est acquise avant neuf ans. Malheureusement, vous souffrez d’une déficience sévère qui ne vous a pas permis d’acquérir ce concept. Vous risquez donc de répondre qu’il y aura plus de spaghettis. Cependant, une chose est évidente, vous ne devriez pas être en sixième année.

2. Vous êtes un élève en santé et vous haussez les épaules en pensant :
 « Franchement, pour qui me prenne-t-il ? ». Pour vous, la bonne réponse est évidente, vous ne pensez même pas qu’on puisse penser autrement.

3. Vous êtes un élève normal de sixième année et, comme cette question vous est posée dans le cadre d’une série de « problèmes d’application » en provenance du « très sérieux » ministère de l’éducation du Québec, vous pensez immédiatement que vous avez mal lu, vous recommencez une fois, deux fois. Vous vous dites : « Il y a quelque chose que je ne comprends pas, il y a un piège que je ne vois pas. ». Bref, vous avez un problème réel, mais bien différent de ce sur quoi on vous évalue. Vous répondrez probablement correctement, mais, après l’examen, vous tenterez aussitôt de vérifier votre réponse auprès de l’enseignante ou de vos camarades.

Une chose est certaine cependant, ce « problème » a été décrit avec un minimum de mots et vous prendrez moins de quinze minutes à le résoudre. C’est donc un problème d’application ? Non, c’est une mauvaise plaisanterie !

C’est un énoncé qui présente un risque élevé d’interprétations sans rapport avec la valeur réelle d’un élève !

Robert Lyons