MATHADORE
    Volume 6 Numéro 204 – 5 février 2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                    Percevoir des équivalences

Les courriels Mathadore 193 à 198 ont amorcé le travail en addition et en soustraction. Nous allons consacrer quelques Mathadore à la suite de ce travail pendant lequel nous passerons à la numération positionnelle.

Dans un premier temps, il s’agira de s’habituer aux échanges entre unités de valeurs différentes mais sans faire intervenir les bases de numération de façon formelle. Il est important que les élèves attribuent un sens concret à ces échanges qui leur permettront d’abord de percevoir des équivalences. Par la suite, ce type de perception pourra les conduire à inventer le groupement.

Avant de suggérer une première activité, rappelons que, contrairement aux équivalences, le groupement, qui a pour but premier d’organiser des quantités en vue de dénombrer ou de calculer rapidement, n’est pas une activité que l’élève de six ou de sept ans pratique dans son quotidien. Il faudra donc s’assurer  de sa compréhension du contexte des activités qui suivent.

Première activité

Chaque élève ou chaque équipe de deux élèves devra disposer de douze réglettes blanches (1 cm), de six réglettes rouges (2 cm) et de trois réglettes roses (4 cm). Dites aux élèves que vous allez construire des trottoirs et que chaque réglette représente une dalle de trottoir. Montrez-leur que certaines dalles sont plus longues que d’autres. Dites-leur qu’ils doivent faire le plus long trottoir  possible mais en utilisant qu’une seule couleur de dalles.

Note : Fabriquer un trottoir rectiligne avec des petites réglettes n’étant pas toujours facile, suggérez à vos élèves d’appuyer leurs trottoirs sur le bord d’un volume.

Mentionnez-leur enfin que les dalles doivent bien se joindre l’une à l’autre pour que le trottoir soit sécuritaire.

Lorsqu’ils auront terminé de construire un premier trottoir, demandez-leur d’essayer d’en construire un autre avec toutes les réglettes d’une autre couleur. Lequel est le plus long ? (C’est égal.) Même question avec les réglettes de la troisième couleur.

Note : Comparer des longueurs n’est pas évident à six ans car souvent les élèves ne comparent qu’une seule des extrémités de chacune des réglettes. Observez ce phénomène. Les élèves opératoires mesurent habituellement en tenant compte des deux extrémités de chacune des réglettes. Dans les activités qui suivront, portez une attention particulière aux élèves qui ne comparent pas correctement car, contrairement aux autres, ils ne sont pas encore prêts à aborder le groupement et ce, même s’ils comprennent l’équivalence de longueurs.

Demandez à vos élèves de vous expliquer pourquoi le trottoir blanc, qui possède beaucoup plus de réglettes que le trottoir rose, est de la même longueur que le trottoir rose.

Note : Cette question est très importante. Tant que les élèves ne pourront expliquer ce phénomène, oubliez la numération positionnelle.

Deuxième activité

Dites aux élèves que, cette fois, vous allez leur demander de faire des trottoirs colorés. Bonjour les artistes !

a) Demandez-leur de fabriquer d’abord un trottoir avec deux réglettes rouges et deux réglettes blanches.

Peuvent-ils fabriquer un trottoir de même longueur avec seulement :
- des réglettes blanches ? (Oui, 6 réglettes blanches.)
- des réglettes rouges ? (Oui, 3 réglettes rouges.)
- des réglettes roses ? (Non, il faudrait une réglette rose et une rouge ou deux blanches.)

b) Demandez-leur maintenant de fabriquer un trottoir avec deux réglettes roses. Demandez-leur ensuite de fabriquer des trottoirs différents mais de même longueur que ce trottoir. Dessinez au tableau les trouvailles de chaque élève. (Solution : Si nous ne tenons pas compte de la position des réglettes mais seulement de leur nombre et de leur couleur, il existe 7 solutions différentes en plus du trottoir original.)

Troisième activité

Cette fois, demandez à vos élèves de comparer les longueurs des trottoirs suivants formés de :

a) 1 rose versus 3 blanches (1 R > 3 b)
b) 1 R + 1 r + 1 b versus 7 b (C’est égal.)
c) 3 r + 6 b versus 3 R (C’est égal.)
d) 4 r + 5 b versus 3 R (3 R < 4 r + 5 b)
e) 2 r + 7 b versus 3 R (3 R > 2 r + 7 b)
Légende : b = blanche; r = rouge; R = rose.

Continuez au besoin jusqu’à ce que les élèves perçoivent bien comment fonctionnent ces échanges. Illustrez chaque fois les solutions au tableau. Sous chacune, notez sa représentation symbolique, par exemple : 3 R < 4 r + 5b. C’est de l’algèbre! Et alors! L’algèbre fait rarement peur avant onze ans…

D’ailleurs, nous noterons bientôt 3 d + 4 u, par exemple, pour 3 dizaines + 4 unités. Or, 3 d + 4 u c’est aussi de l’algèbre. Si un enfant de six ans peut associer les quatre lettres « bleu » à la couleur bleue, il peut aussi associer b à bleu, d à dizaines, etc. D’ailleurs, lorsqu’on observe attentivement les enfants qui apprennent à lire, ils se concentrent souvent sur une seule lettre des mots qu’ils apprennent, la première ou la dernière. C’est ainsi qu’ils distinguent facilement bras et tête. C’est plus difficile avec roi et rue ou avec pas et tas, pire avec pomme et poire. 

Robert Lyons
La semaine prochaine : équivalences de base dix.