MATHADORE
    Volume 6 Numéro 207 – 26 février 2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

         Enseignement de la numération positionnelle

Les numéros 204 à 206 de Mathadore ont décrit une progression d’activités grâce auxquelles il est possible d’enseigner la numération positionnelle en évitant de nombreuses difficultés aux élèves. Il ne vous reste qu’à reprendre le matériel de base dix utilisé dans Mathadore 205 (plaques, bâtonnets et cubes) et à proposer aux élèves des activités semblables à celles de Mathadore 206. Cette fois, vous ajouterez la position des centaines.

à la fin de cette séquence d’activités, les élèves devraient être capables de transformer des nombres en leur trouvant de nombreuses équivalences. Par exemple : 

2 centaines + 4 dizaines + 8 unités = 1 centaine + 14 dizaines + 8 unités
2 centaines + 4 dizaines + 8 unités = 2 centaines + 2 dizaines + 28 unités
2 centaines + 4 dizaines + 8 unités = 0 centaine + 21 dizaines + 38 unités
Etc.

Cette habileté est essentielle à la justification des techniques de calcul et à celle de la structure de la numération. Elle permet à l’élève d’associer d’abord la numération à un système d’équivalences plutôt qu’à un ensemble d’énoncés verbaux qui présentent des pièges bien connus. Cette séquence d’enseignement ne demande pas à l’élève de progresser par tranches de dix : 0 à 9 d’abord, puis 10 à 19,… avec une pause à 69 et une autre à 99.

Grouper par dix devient pertinent lorsqu’il y a suffisamment d’unités pour semer la confusion, pour qu’il soit nécessaire de mettre de l’ordre afin de s’assurer que toutes les unités ont été dénombrées une et une seule fois chacune. Or, il faut entre trente (30) et quarante (40) unités à dénombrer pour que le contrôle de ce qui a été dénombré devienne difficile à moins d’avoir recours à un arrangement qui ordonne les unités. Regrouper des unités lorsqu’il y en a moins que trente n’est pas pertinent. 

Lorsque les élèves apprennent la numération par tranches de dix, il faut leur imposer le groupement s’il n’y a pas suffisamment d’objets. Pire encore, le groupement en utilisant la base trois, par exemple, oblige les élèves, qui doivent dénombrer vingt-quatre unités, à faire huit paquets de trois d’abord, ensuite deux paquets de trois paquets de trois. Cela signifie qu’ils devront faire dix paquets alors qu’ils ne ressentent pas le besoin d’en faire un seul pour dénombrer une quantité aussi petite que vingt-quatre. De là à penser que les mathématiques sont fort peu utiles,  le pas est vite franchi.

Bien que l’arrangement d’unités en paquets de dix soit le plus fréquent, il existe d’autres types d’arrangements intéressants, par exemple, placer les unités en formant une sorte de dallage rectangulaire. Bien qu’il soit alors facile de trouver le nombre d’unités, même si les rangées n’ont pas dix éléments, ces quadrillages exigent la connaissance des tables de multiplication afin d’être vraiment utiles. On ne les verra donc apparaître que plus tard chez certains élèves.

On comprendra aussi que la stratégie utilisée dans les Mathadore précédents visait d’abord à percevoir l’équivalence sous diverses formes, par exemple un bâtonnet est équivalent à dix cubes ou un carré est équivalent à dix réglettes. Pour les élèves, réaliser un type d’équivalences ne représente pas plus de difficultés que l’autre type. Bref, ce qui deviendra une transformation d’unités en dizaines ou de dizaines en unités n’est ni plus facile ni plus difficile qu’une transformation de centaines en dizaines ou de dizaines en centaines.

Il en résulte que la compréhension de ce type d’équivalences concrètes, sans parler d’unités, de dizaines ou de centaines mais bien de cubes, de réglettes et de grands carrés, permettra de passer ensuite à la numération positionnelle qui utilisera les termes unités, dizaines et centaines.

Par la suite, on associera les noms des nombres à leur description la plus simple : trois cent quarante-six = 3 centaines + 4 dizaines + 6 unités. En agissant ainsi, non seulement la « pause » à 69 et celle à 99 deviennent injustifiables, mais l’élève, ayant compris ce que représente chaque position dans un nombre, aura moins de chances de considérer que soixante-douze s’écrit 612. Ce type d’erreurs provient de l’association de la numération orale à la notation des nombres. Or cette numération orale utilise une structure imparfaite, ce qui n’est pas le cas lorsqu’on décrit les nombres. Cette structure imparfaite conduit d’ailleurs les élèves à des difficultés avec les nombres 11 à 16 et ensuite  70 à 99.

En conclusion, la numération orale doit être développée parallèlement avec la numération écrite. Les deux systèmes seront associés l’un à l’autre seulement lorsqu’ils seront maîtrisés séparément.

Robert Lyons

Prochaine parution : le 12 mars 2006. 

Bonne relâche scolaire !