MATHADORE
    Volume 7 Numéro 238 – 25 février  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique


       La pertinence, essentielle en constructivisme

Alors que, grâce à ses outils d’évaluation en mathématiques, le ministère de l’éducation du Québec vole de records en records dans le livre Guiness de l’absurdité, dans les écoles, les efforts se multiplient afin d’utiliser un enseignement constructiviste.

Un exploit remarquable dans le domaine de l’absurde a été réalisé en 1991  par ces experts en enseignement (qui logent plus près des nuages que de la terre ferme) dans le test de fin d’année du ministère à l’intention des élèves de secondaire IV (16 ans) :

Au Chili, madame Espinoza et son mari ont eu 46 enfants au cours de leur union. Cette situation se traduit par l’équation f + g = 46. La relation entre le nombre f de filles et le nombre g de garçons se traduit par l’équation suivante : f – g = 6 … (MEQ, examen de fin d’études secondaires, 1991, Math 414).

On ne croyait plus revoir une telle horreur. Grossière erreur! En 2005, le ministère de l’éducation du Québec, devenu ministère des loisirs et des sports et se préparant à devenir le futur ministère de l’ésotérisme, a proposé une de ses fameuses situations problèmes aux élèves de fin primaire (élèves de 11 ans). Le titre de cette œuvre : En quête de vertus.

Après avoir construit une planche de jeu au moyen de contraintes géométriques, dont la justification allait sans doute venir plus tard, voilà que les élèves deviennent des chevaliers qui, grâce à un jeton, se déplacent sur la planche de jeu dans le but de gagner des vertus. Pour réaliser cet exploit, ils doivent répondre à diverses questions mathématiques semblables à : Effectue cette multiplication : 45 x 16.

Faire des mathématiques pour gagner des vertus ! Je savais bien que mon travail me conduisait directement au paradis.

L’année suivante, le même ministère n’a pas osé présenter une de ses nouvelles situations problèmes, laquelle avait  la magie pour thème. Le ministère de l’éducation, des loisirs, des sports et de l’ésotérisme n’existe pas encore… Soyez patients !

Et maintenant, soyons sérieux. Mathadore 237 présentait des problèmes sous forme concrète en les associant à une forme symbolique appropriée. Ainsi il fallait trouver le nombre x de tables à quatre pattes et le nombre y de tables à six pattes contenu dans une pièce où sept tables étaient disposées.

Il existe huit solutions réalistes et distinctes à ce problème : (0,7) (1,6)… (7,0) lesquelles sont aussi des solutions acceptables à l’équation x + y = 7. Si la situation concrète admet seulement huit solutions, la solution symbolique, abstraction faite du concret qu’elle représente, admet une infinité de solutions telle x = 3 ½ et y = 3 ½.

En fait, les symboles mathématiques visent l’économie, c’est-à-dire qu’avec le moins de symboles et de combinaisons symboliques possibles, on tente de représenter le plus de situations concrètes possibles.

Imaginons cette fois que x et y représentent chacune un certain nombre de kilogrammes de viande. La quantité totale de kilogrammes étant de 7 kilogrammes. Donc x + y = 7 représente adéquatement la situation. Toutes les solutions trouvées pour le problème des tables sont valables pour ce problème car il est possible d’acheter un nombre exact de kilogrammes de viande. 

Par ailleurs, ces mêmes produits peuvent être quantifiés au moyen de fractions de kilogrammes, ce qui permet d’obtenir une infinité de solutions telle x = 3 ½ et y = 3 ½.

Le problème des kilogrammes de viande devient pertinent si nous voulons obtenir des valeurs non entières pour x et y alors que le problème des tables serait ici absurde.

Essayons un autre problème. Lors d’un match de hockey, entre l’équipe des Crocodiles et l’équipe des Tigres, l’équipe qui a gagné a marqué 2 buts de plus que sa rivale. Trouvez le nombre de buts marqués par chaque équipe. L’équation x + y = ±2 représente cette situation. Le x remplace le nombre de buts compté par l’équipe des Crocodiles, ce sera l’équipe des +. Ainsi si x = +3, cela signifiera que l’équipe des Crocodiles a marqué 3 buts. Le y remplace le nombre de buts comptés par l’équipe des Tigres, ce sera l’équipe des –. Ainsi y = –4 signifie que l’équipe des Tigres a marqué 4 buts et  x + y = +2 signifie que l’équipe des +, celle des Crocodiles, a gagné par 2 buts. Voici donc quelques possibilités :

x = + 2 et y = 0
x = +3 et y = –1
x = +4 et y = –2
Etc.

La dernière possibilité montre que l’équipe des Crocodiles a marqué 4 buts (+4) alors que l’équipe des Tigres n’en a marqué que 2 (–2). En conséquence, l’équipe des + a gagné par 2 buts :
x + y = +2 ou  (+4) + (–2) = (+2).

L’équation de départ x + y = ±2 ouvrait la porte à un gain par chaque équipe (±2). Au lieu de considérer x + y = + 2, qui fait gagner l’équipe des +, donc celle des Crocodiles, on peut aussi considérer que x + y = –2, donc un gain par deux buts de l’équipe des Tigres.

Les solutions deviennent alors :

x = 0 et y = –2
x = 1 et y = –3
x = 2 et y = –4
Etc.

Les énoncés symboliques représentent une infinité de possibilités, une infinité de situations concrètes fort différentes. Selon les nombres que nous voulons étudier (entiers positifs, fractions, entiers relatifs…) il faut choisir des situations concrètes pertinentes. Afin de pouvoir construire un concept, nous avons besoin de bien percevoir la situation sur laquelle nous travaillons. Si cette situation se manifeste au moyen des objets réels du problème, ce que nous ferons avec ces objets nous permettra de valider ou d’infirmer directement nos idées. Par contre, si les objets du problème sont remplacés par des jetons divers, il faudra faire un certain effort d’association, qui permettra de voir et de manipuler des jetons tout en pensant aux objets concrets du problème.

Il est possible, pour diverses raisons, par exemple les dimensions ou le nombre d’objets du problème, qu’il faille pousser la substitution au-delà d’un remplacement par des jetons et parvenir à une représentation graphique ou symbolique. Il est certain que ces nouvelles représentations nous éloigneront encore davantage des objets du problème et qu’il faudra un effort plus grand d’évocation au moment du travail sur les représentations symboliques. Par exemple, il faudra se rappeler que les variables représentent des tables et non des kilogrammes donc que seuls les entiers positifs peuvent être considérés.

Une des plus grandes faiblesses de l’enseignement des mathématiques consiste à se cantonner dans l’enseignement de jeux symboliques totalement indépendants de ce que ces énoncés symboliques représentent. C’est ainsi, entre autres, que l’on apprend que la multiplication de deux signes semblables donne un « + » alors que celle de deux signes opposés donne un « – ». À quoi cela correspond-il?

Il en résulte que la maîtrise des diverses transformations ou calculs portant sur les symboles mathématiques ne garantit en rien la compréhension des concepts qu’ils représentent. Cette maîtrise symbolique ne permet pas le transfert et, en fin de compte, elle ne garantit pas davantage la présence de capacités d’abstraction puisque les symboles deviennent les objets du problème, qu’ils n’évoquent plus rien.

évidemment, si les problèmes donnés aux élèves, afin qu’ils développent divers concepts, se doivent d’être pertinents, il est totalement inacceptable de retrouver dans des tests du ministère des situations problèmes absurdes ou farfelues. Calculer une somme ne donne ni vertus ni indulgences et aucune madame Espinoza ou autre madame de cette planète n’a eu 46 enfants.

Robert Lyons

Prochaine parution : le 11 mars 2007, relâche oblige.