MATHADORE
    Volume 7 Numéro 245 – 22 avril  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                 Problème simple, grande découverte

Quels sont les deux nombres dont la somme est 10 et le produit 21? Ce problème peut être illustré ou posé en termes géométriques. Quel est le rectangle dont l’aire est 21 et dont le demi-périmètre est 10 ?

 
                                            
Vous avez trouvé facilement ces deux nombres : 7 et 3 ?

Maintenant, quels sont les deux nombres dont la somme est 10 et le produit 24 ?

L’illustration géométrique qui suit peut s’avérer inutile puisque vous connaissez déjà la réponse, mais, vous ne perdez rien pour attendre… Faisons un essai.

                                     

Ajouter 1 à 7 et le retrancher à 3 maintient la somme est égale à 10 mais réduit l’aire à 16. Il semble donc qu’il faille faire le contraire.

                                  

Ou mieux encore :

                                  
                    (7 – 1) × (3 + 1) = 21 + 7 – 3 – 1 = 24

Donc les nombres recherchés sont 6 et 4.

D’accord, c’était encore trop facile. Soit, vous l’avez cherché. Quels sont les deux nombres dont la somme est 10 et le produit 26. Et ne me dites surtout pas que c’est impossible !

Bon, laissons les audacieux tenter de résoudre le problème précédent en pensant que les fractions peuvent les aider. Poursuivons notre raisonnement avec le problème suivant. La somme de deux nombres est 10 et leur produit est 25. Essayons avec le rectangle simplement afin de construire un modèle de résolution fort utile.

Partons du rectangle précédent qui mesurait 6 par 4. Nous savons qu’il faut réduire le plus grand nombre afin d’augmenter l’aire. Donc :

                                

                       (6–1) × (4 + 1) = 24 + 6 – 4 – 1 = 25

Et pour que l’aire augmente à 26 ? Il semble clair qu’il faille continuer avec le même procédé.
                                
Puisque +5x et –5x s’annulent et que nous cherchons à obtenir une aire totale de 26, il faut donc que 25 + 5x –5x – x2 = 26. Donc que –x2 = +1 ou que x2 = –1.

x est donc un nombre qui, multiplié par lui-même est égal à –1. Ce n’est pas +1 car
 (+1) × (+1) = (+1) et ce n’est pas –1 car (–1) × (–1) = (+1).

Il n’y a rien comme l’imagination pour résoudre un bon problème de mathématiques. Alors, imaginons un nombre tel qu’en le multipliant par lui-même, la réponse soit –1. Il ne reste plus qu’à lui donner un nom. Que penseriez-vous du nombre i, i pour imaginaire? Ainsi, même si nous ne pouvons situer i sur un axe de nombre, puisqu’il n’est ni positif, ni négatif,  nous pouvons par contre situer i 2 sur un axe car i 2 = –1.

Quels sont donc les deux nombres dont la somme est 10 et le produit 26 ? (5 + i) et 
(5 – i). En les additionnant nous obtenons 5 + i + 5 – i = 10. Et en les multipliant nous obtenons : (5 + i) × (5 – i) = 25 + 5i – 5i + 1 = 26 puisque – i 2 = +1.

évidemment, il est possible d’y arriver par calculs algébriques, mais, il me semble qu’avec le rectangle, c’est plus facile à visualiser et à comprendre.

Robert Lyons