MATHADORE
    Volume 8 Numéro 255 – 21 octobre  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                Comment poser un problème

Voici deux problèmes qui ont été posés dans les écoles primaires françaises auprès de 1796 garçons et 1731 filles. Les pourcentages indiquent les taux de réussite. (Ré : Gaston Mialaret, Pédagogie des débuts du calcul, Fernand Nathan, 64 pages)

Je dois parcourir 7 kilomètres dans une journée. Le matin, je fais 4 kilomètres. Combien de kilomètres me reste-t-il à faire dans l’après-midi? (Garçons : 43,2% – Filles 42,5%)

Dans un bidon il y avait 17 litres de vin. Il ne reste plus que 4 litres. Combien a-t-on enlevé de litres de vin? (Garçons 76,7% - Filles 78,8%)

La soustraction 7 – 4 est un peu plus facile que la soustraction 17 – 4. Pourtant la différence est considérable entre les succès obtenus, lesquels favorisent la soustraction la plus difficile. 

Dans un test de quotient intellectuel  connu, on demande aux élèves de résoudre sept problèmes. Les trois premiers portent sur l’addition et les quatre suivants sur la soustraction. Bien que la première soustraction soit la plus facile, elle est habituellement la moins réussie. L’erreur est toujours la même, les élèves additionnent tel qu’ils le faisaient lors des trois problèmes précédents.

Dans un test du ministère de l’éducation du Québec, à l’intention des élèves de sixième année (onze ans), on leur demandait si, en coupant en deux une poignée de spaghettis, avant de tout placer dans la casserole, il y aurait ainsi plus de spaghettis à manger. Ce problème a été raté par de nombreux élèves, ils ont cru qu’il y avait un piège, qu’ils n’avaient pas compris correctement le problème.

Il n’y a aucun doute qu’une cause importante de difficultés en résolution de problèmes résulte de l’énoncé du problème. Bien qu’il ne soit probablement pas possible de formuler des énoncés parfaits, certaines règles élémentaires devraient toujours être respectées.

L’énoncé du problème doit permettre à l’élève de se former une image mentale claire de la situation problème, c’est ce qui s’appelle « comprendre le problème ». Quelle est la différence entre les deux problèmes mentionnés au début de ce texte ? Le thème. Il est en effet plus facile de voir, de concrétiser, d’imaginer un problème portant sur des litres de vin que sur des kilomètres.

Cette semaine, j’ai eu le plaisir de travailler divers problèmes dans des classes de tout le primaire. Un des problèmes portait sur les buts marqués lors d’une partie de hockey. Certaines enseignantes m’ont fait remarquer, avec raison, que les garçons s’en étaient mieux tirés, surtout les joueurs de hockey.

La construction de l’image mentale, qui guidera tout le processus de résolution de problèmes, dépend de la terminologie et de la thématique. Elle dépend aussi du support de l’énoncé. Est-il simplement verbal ? De nombreux élèves devront alors surmonter un obstacle qui n’existe pas chez les autres. Est-il accompagné d’illustrations ? L’obstacle sera levé pour quelques autres. Mais si les élèves ont aussi en leur possession du matériel qui leur permet de représenter le problème, alors des élèves, qui sont souvent en difficulté, vont mieux fonctionner.

Cette semaine, dans une classe de cinquième, un élève, habituellement en difficulté, s’est avéré un des meilleurs pour une série de problèmes qui parlaient de dallages de planchers, les élèves ayant un matériel approprié en main. Lorsqu’il a des objets qui l’aident à actualiser son problème, cet élève, comme plusieurs autres, se sent plus à l’aise.

Par ailleurs, l’apprentissage et l’évaluation de la résolution de problèmes en mathématiques, ne constituent pas des moments propices au développement de la culture générale. Les thèmes doivent être suffisamment connus pour que, par rapport à eux, les élèves soient égaux ou presque. C’est lorsque l’apprentissage d’un concept est en place que l’on peut l’appliquer dans des contextes diversifiés et, tant mieux si c’est possible, augmenter sa culture générale.

Il est donc irresponsable, au moment d’un test de fin d’année, par exemple, de proposer des problèmes à des élèves de onze ans ayant pour thème l’époque médiévale. Quel que soit l’âge des élèves, le meilleur problème de mathématiques sera toujours celui qui sera présenté avec le moins de mots, celui qui se réfère à un contexte bien connu des élèves.

Avez-vous déjà observé comment un enfant d’à peine un an se débrouille pour atteindre un objet hors de sa portée ? Ou encore comment il réussit à allumer ou à éteindre un téléviseur ? à encastrer un objet dans un autre ? Personne ne l’a « placé en situation » en lui racontant des histoires. Et rares sont ceux qui échouent !

La période durant laquelle nous posons un problème doit servir à nous assurer que les élèves en maîtrisent le contexte et la terminologie. Lorsque les élèves ont du matériel entre les mains, il est plus facile d’observer si le problème est compris. Comprendre le problème ne signifie pas que l’on sait comment le résoudre, cela sera tenté lors de la phase suivante.

Vous avez certainement entendu des élèves s’exclamer «Ah, c’est cela que tu voulais dire!» vingt ou trente minutes après que vous ayez proposé un problème ou donné des explications. Et cet élève de huit ans qui, après un cours sur l’estimation de nombres, vint demander à l’enseignante si estimer des nombres c’était comme lorsque sa sœur «estimait» des hot-dogs.
à partir de huit ans plusieurs élèves croient que faire des maths c’est calculer. Demandez-leur quelle sera, à trois heures, la longueur d’une corde qui mesure deux mètres à une heure et vous en verrez plusieurs obtenir six mètres en multipliant les mètres par les heures. Et il y a ces chevaux dont le nombre de pattes varie en fonction du nombre de piquets auxquels ils sont attachés. Problème de lecture ? Pas du tout! Mentionnez-leur qu’il s’agit d’un examen de français et vous verrez que cordes et chevaux deviennent plus stables.

Simplement à cause du contexte du cours de mathématiques, les élèves se préparent à calculer. 

Dans le test de quotient intellectuel mentionné plus haut, il suffit d’inverser l’ordre des problèmes d’addition et de soustraction pour que la première soustraction soit mieux réussie et … pour que la première addition le soit moins. Pour obtenir les meilleurs résultats, il faut alterner de façon irrégulière l’ordre des problèmes portant sur diverses opérations. Voila comment, on réussit à … augmenter le quotient intellectuel d’un élève.

Il y a plusieurs années, un de ces fameux tests montrait que les droitiers étaient «plus intelligents» que les gauchers. En regardant plusieurs questions du test, il était évident qu’il facilitait le travail aux gauchers. Plusieurs questions demandaient aux élèves d’observer minutieusement quatre dessins afin de voir lequel était identique au modèle placé en début de ligne, à gauche. D’autres demandaient de compléter un dessin qui représentait une partie du modèle situé à gauche. Vous avez déjà observé que, pour un droitier, ce qui est situé à gauche de sa main est visible alors que c’est caché pour le gaucher ?

Il a suffi de placer les modèles à droite pour que le quotient intellectuel des gauchers subisse un bon prodigieux vers le génie d’Albert Einstein alors que les droitiers se comportaient davantage comme … Frank Einstein ?.

Bref, une des variables les plus importantes en résolution de problèmes constitue l’énoncé du problème lui-même. Et l’élève n’a aucun contrôle sur cette donnée. Lorsque nous évaluons la résolution de problèmes chez nos élèves, cette dimension extrêmement importante est toujours négligée. Par contre nous accordons beaucoup de crédit aux traces que l’élève laisse. Mais, ces fameuses traces, ces fameuses phrases mathématiques, qui évoquent la solution d’un problème, représentent-elles une réponse au problème posé ou à autre chose ?

J’allais oublier, puisque la mode est aux pourcentages, désormais je vous prierais de bien vouloir réserver 25% des points à accorder lors de la résolution de problèmes à la qualité de l’énoncé du problème et de… réduire d’autant  le seuil de réussite exigé de l’élève.

Robert Lyons