MATHADORE
    Volume 8 Numéro 257 – 3novembre  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                       Le raisonnement

L’imagination à eu son heure de gloire lors des phases précédentes de la résolution d’un problème (Voir Mathadore 255 et 256). Maintenant, au tour de la rigueur, de la synthèse, de la minutie, de la concentration.

Les diverses idées de solutions disponibles à cette étape proviennent d’un examen rapide du problème et d’un brassage d’idées évoquées par la lecture du texte du problème. Il faut maintenant examiner ces idées et faire un premier choix. Dans ce but, on se demandera si :
- les idées de solutions manifestent une bonne compréhension du but à atteindre;
- la mise en œuvre de ces idées exige des éléments qui constituent autant de données connues du problème.

Cette première analyse conduira à ordonner, de la plus simple à la plus complexe, les idées de solution qui semblent valables et à mettre les autres idées de côté pour l’instant.
De façon très rigoureuse, il s’agit maintenant de construire systématiquement au moins une de ces solutions. Chaque pas devra être fait en s’assurant qu’il ne contredit ni les données du problème, ni les règles qui régissent les mathématiques. à la limite, même ces règles seront démontrées dans la solution. En fait, une solution mathématique n’est pas une affaire de démocratie, mais un système basé sur la non-contradiction. Si rien n’est laissé au hasard, tout s’emboîte comme les pièces d’un casse-tête et l’observation attentive du résultat final suffit afin de démontrer la valeur de la solution.

Si, chemin faisant, on se retrouve dans un cul-de-sac soit parce qu’un élément nécessaire  est manquant et qu’on ne peut le découvrir, soit parce qu’on ne peut démontrer un élément de la solution, soit parce que le résultat obtenu est impossible ou fort surprenant (Cela se produit souvent lorsque, travaillant avec des nombres algébriques, une division par zéro a été effectuée sans qu’on en soit conscient.) et si, après un examen minutieux, rien ne peut servir à faire progresser la solution, il faut la mettre de côté afin d’en essayer une autre ou tenter un nouveau brassage d’idées qui aura pour but de réorienter la solution en cours. 

Ce n’est pas mauvais de laisser de côté une idée de solution, même si celle-ci est fort avancée dans sa construction. Une idée, qui semble différente, sans liens apparents, peut conduire à construire des éléments qui permettront de compléter la première solution.

La construction d’une solution mathématique exige donc un bon esprit d’analyse, un esprit logique, un grand souci du détail. Pour y parvenir, il faut être capable de se concentrer sur le travail à accomplir. Il arrive que, pour diverses raisons, certains élèves ont peu de succès lors de cette étape. Certains problèmes de santé peuvent rendre difficiles la concentration et la constatation d’une contradiction. Ainsi, chez les personnes trisomiques, il semble que la contradiction soit difficilement perçue, sauf lorsqu’un événement bouleverse des habitudes. Cela se produit rarement lors de l’élaboration d’une solution à un problème mathématique.

Si les enfants affectés de trisomie sont peu nombreux, d’autres problèmes de santé peuvent rendre la construction d’une solution difficile. Par exemple, plusieurs personnes ayant mal au cœur en automobile ont souvent un cheminement en «montagnes russes», c’est-à-dire inconstant. Chez ces élèves on remarque que certains moments pendant lesquels ils apprennent assez facilement alternent avec d’autres pendant lesquels tout est pénible. Ainsi, un élève qui apprend avec facilité ses tables un lundi, semblera avoir tout oublié le lendemain. Puis, le jour suivant, sans aucune raison, tout ira mieux.

Le succès lors de l’étape de construction d’un problème mathématique a un effet beaucoup plus bénéfique que le fait de trouver sa solution. En fait, le succès n’est pas toujours nécessaire parce que son absence n’est pas nécessairement un échec. Ainsi, il existe des problèmes très difficiles, des problèmes sur lesquels on peut travailler des années, voire une vie entière, sans découvrir leur solution. Ce n’est pas un échec si chaque tentative de solution a été structurée correctement et si l’on a compris pourquoi elle ne fonctionnait pas. Il faut bien percevoir qu’un problème mathématique est un défi à l’esprit humain et ce défi vise d’abord et avant tout sur le fonctionnement du cerveau.

Vous jouez aux cartes, au Risk, au Clue ou à d’autres jeux qui, même s’ils sont bien joués, ne conduisent pas tous les joueurs à gagner même si chaque geste posé par chacun des joueurs est le meilleur possible ? Bref, bien jouer ne conduit pas nécessairement à la victoire, mais … à la satisfaction d’avoir bien joué et, peut-être, à la satisfaction de pouvoir pester contre le hasard.

De la même façon, tenter de résoudre un problème mathématique est fort plaisant si ce qui a été construit est valable et même si la solution n’a pas été trouvée ou terminée. Qu’en reste-t-il alors ? La construction de la confiance en soi. Résoudre un problème exige et développe la confiance en nos capacités à organiser des idées de façon rationnelle. Cette confiance permet d’aborder des situations nouvelles avec calme en sachant que nous avons des talents qui peuvent nous sortir de nombreuses situations délicates.

Sachant cela, sachant que le succès à cette étape d’une résolution de problèmes dépend de nos capacités à se concentrer, à tenir compte des détails, à déceler des contradictions; sachant qu’au contraire, le succès lors des deux étapes précédentes dépendait de notre capacité à manifester une pensée autonome, à imaginer, à générer toutes sortes d’idées, on comprend la complexité d’une résolution de problèmes et on saisit que des difficultés peuvent survenir à la suite de lacunes fort différentes les unes des autres. Aider un enfant en difficulté en résolution de problèmes consiste d’abord et avant tout à poser un diagnostic précis identifiant les causes de ses difficultés. Problème de surprotection, mauvaise perception des données, problème de santé, manque de persévérance et nous en verrons d’autres dans le prochain Mathadore. L’éventail est grand et le fait de proposer de nouveaux problèmes à l’élève ne peut conduire qu’à de faibles améliorations. 

évidemment, si, conduit par une pseudo-objectivité ou une rigueur de pacotille, l’élève obtient 70% au lieu de 65% en résolution de problèmes, un solide diagnostic est aussi possible. Après tout, la Tour de Pise a résisté à de nombreuses intempéries. Toutefois, un diagnostic dont les assises reposent sur un sol argileux et aussi artificiel que le pourcentage ne peut plus satisfaire un personnel enseignant qui comprend beaucoup mieux qu’il y a trente ans qu’il existe des intelligences multiples, qu’il existe des styles différents d’apprentissage, que les obstacles à franchir sur le chemin de l’apprentissage sont nombreux, mais surtout fort variés.

L’école évolue fort lentement parce qu’elle a de nombreux boulets fixés à ses pieds. Le pire d’entre eux étant celui qu’imposent les gens satisfaits d’eux-mêmes et qui considèrent que leur cheminement a été un modèle du genre. Ces gens sont parvenus à leurs fins, ils ont réussi. Tant mieux, mais bravo s’ils continuent d’évoluer. 

La recherche en éducation n’est pas facile, elle est habituellement déconnectée de ce qui se passe réellement en classe. Lorsque de nouvelles idées apparaissent, même si elles ont été validées sérieusement, elles vont se heurter au mur du «moi, dans mon temps, …». En éducation, tout changement rappelle ce mot de Woodie Allen selon lequel les seuls humains qui souhaitent un changement sont les … bébés mouillés.

Malgré tout, l’enseignement évolue. Inutilement pour les parvenus, lesquels ignorent trop souvent l’étendue de leur ignorance, et trop lentement pour ceux qui ont éprouvé ou éprouvent des difficultés d’apprentissage.

Robert Lyons