MATHADORE
    Volume 8 Numéro 260 – 25 novembre  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                        Les maths piégées

Nous ne pouvons appuyer ce qui suit sur des documents historiques. Malgré cela, il n’est pas difficile d’imaginer que ce résumé a de fortes chances d’être conforme à ce qui s’est passé.

L’école a toujours été conçue afin de répondre à certains besoins de la société. à travers les âges, ces besoins ont évolué, tout comme nos sociétés. Chaque nouveau besoin a conduit les responsables des programmes scolaires à ajouter de nouveaux éléments aux divers programmes d’études. Il s’agissait d’ajouts et non de remaniements, du moins en profondeur, des programmes existants. Ainsi, de nouvelles découvertes en sciences ont conduit à ajouter de nouvelles sciences au curriculum ou à ajuster certains concepts déjà présents. En histoire, en géographie, en littérature, en français, en arts, on a cherché à étendre l’ensemble des connaissances des élèves en ajoutant à la fois des années de scolarité et de nouvelles sections aux programmes.

Malheureusement on a agi de la même façon en mathématiques. Malheureusement, parce que, dans cette matière, il aurait fallu tout reconstruire lorsque le besoin d’augmenter les programmes est devenu évident.

Fondamentalement, le problème est le suivant : en français, par exemple, le jeune enfant de six ans a déjà développé de nombreuses connaissances qui ne seront jamais contredites. Ainsi, il distingue diverses catégories de mots, il  sait assez bien les organiser dans une phrase, il sait que le terme  « demain » sera suivi d’un verbe au futur, même s’il ne sait désigner ce temps d’un verbe correctement, il l’utilise déjà bien.

Bien sûr, il fait des erreurs, il dira « ils sontaient » au lieu de « ils étaient », « ils jousent » au lieu de « ils jouent », mais ces erreurs correspondent à des exceptions qui ne contredisent pas les règles de base qu’il connaît. Ce sont d’ailleurs ces règles qu’il applique et qui lui font dire :  ils marchent… ils marchaient ; ils chantent… ils chantaient; ils sont… ils sontaient.

Dans un contexte où de nouveaux ajouts au programme ne conduisent à aucune contradiction avec ce qui a été appris, il n’y a pas lieu de réviser les programmes antérieurs en vue de les reconstruire. Malheureusement, en mathématiques, c’est très différent. 

Ainsi, les premiers besoins en calcul ne portaient que sur l’addition et la soustraction de nombres entiers positifs. Dans un tel contexte, 5 – 3 est possible et 3 – 5 est impossible. Lorsque l’étude des nombres négatifs est devenue nécessaire, 3 – 5 est devenu possible. Il ne s’agit pas d’un ajustement, mais d’une contradiction avec ce qui a été appris. Il aurait fallu réviser depuis le début et enseigner parallèlement que 5 – 3 = 2 et que 3 – 5 = –2, ce qui ne cause aucun problème de compréhension même aux enfants de six ans.

Allons plus loin. Un jour l’étude de la multiplication sur les entiers positifs est devenue nécessaire. Personne n’avait à prévoir si ce qui était alors enseigné afin de présenter la multiplication sur les entiers positifs allait plus tard causer des difficultés au moment d’étudier la multiplication de fractions, de nombres relatifs ou de nombres algébriques. La multiplication sur les entiers positifs était la seule enseignée à l’école et la seule qui était nécessaire aux besoins de la société. On a donc associé la multiplication à une addition répétée ou encore à un procédé accéléré utilisable pour certaines additions.

Plusieurs années plus tard, en insérant la multiplication de fractions dont ½ × ½ = ¼, la multiplication ne pouvait plus être perçue ou définie telle une addition répétée et l’analogie qui avait tellement servie s’est retournée contre les élèves et les a conduit à des difficultés d’apprentissage ou à renoncer à comprendre la multiplication sur les fractions.  En ajoutant encore plus tard la multiplication sur les relatifs (–5) × (–4) = +20, puis la multiplication sur des termes algébriques (a × b = ab ou a × a = a2), on a ajouté autant d’éléments qui contredisaient les premiers apprentissages sur la multiplication. Jamais on a révisé ce qui se faisait jusque là. Il semble qu’on ait d’ailleurs rarement compris que tous ces ajouts contradictoires rendaient les mathématiques de plus en plus incompréhensibles et les vidaient de leur sens.

Vous avez appris que diviser c’est partager, essayez avec 6 mètres ÷ ½ = 12 mètres. Vous avez aussi appris que diviser c’est mesurer et comprenez que 6 mètres ÷ ½ mètre = 12. Vous survivez à peine. Essayez avec 12 ÷ (–4) = –3. Partage ou mesure? Non, cul-de-sac!

C’est fascinant puisque les mathématiques constituent la science où la non-contradiction est la règle la plus absolue. Aucun domaine de connaissances humaines n’utilise autant la non-contradiction que les maths. En maths, point d’exceptions. Pourtant, pour des raisons historiques, à l’école, aucune matière scolaire ne contient autant de contradictions que les mathématiques. à ce jour, aucun programme n’a corrigé ces lacunes historiques qui sont à la base des difficultés d’apprentissage les plus tenaces et les plus nombreuses en mathématiques.

La réforme en enseignement des mathématiques reste à venir.

Robert Lyons