MATHADORE
    Volume 8 Numéro 263 –  13 janvier 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

        L’apprentissage des tables (1)

De nombreuses questions nous sont adressées fréquemment concernant l’apprentissage des tables ce qui trahit l’importance démesurée qui est accordée trop souvent à cet élément du programme de mathématiques. Quand l’élève doit-il connaître ses tables? Que faire avec un enfant qui utilise ses doigts pour calculer? Doit-on apprendre les tables jusqu’à neuf, dix ou douze? Comment faciliter cet apprentissage? Doit-on insister?

D’abord, tout apprentissage doit être pertinent  car c’est sur la pertinence que s’appuie la motivation véritable. Par exemple, apprendre les tables jusqu’à 12 + 12 et jusqu’à 12 × 12 était pertinent lorsque le système impérial de mesures de longueurs était notre système de base. En effet, afin de trouver le nombre de pouces que contenaient cinq pieds, la mémorisation de 5 × 12 = 60 accélérait le travail. Avec le système international, il n’y a plus de raisons d’insister sur la mémorisation des tables d’additions et de multiplications au-delà de 10 + 10 et de 10 × 10 voire même au-delà de 9 + 9 et de 9 × 9.

Par ailleurs, l’apprentissage des tables, ainsi que la mémorisation de la terminologie spécialisée, demeurent les derniers apprentissages à faire. Dans l’ordre, l’élève doit comprendre à quoi sert ce qu’il apprend, ensuite pourquoi cet apprentissage fonctionne de telle façon et enfin il doit assimiler les moyens qui lui permettent d’être efficace, c’est-à-dire, de poser les gestes adéquats de façon aussi automatique que possible, donc sans devoir trop y penser.

Or, à partir de l’instant où les automatismes sont efficaces, ils remplacent l’effort de penser et rendent le travail de raisonnement, nécessaire à la démonstration de leur valeur, peu motivant pour de nombreux élèves. Çà fonctionne? Çà fonctionne toujours? Alors que vous faut-il de plus? Bref, si le raisonnement, qui est à la base d’un des éléments du programme, n’est pas maîtrisé avant que les moyens de travail efficace s’installent, il y a de fortes chances que ce raisonnement ne soit jamais effectué ou maîtrisé.

Quel pourcentage des adultes, qui savent comment diviser un nombre par une fraction, peuvent expliquer le remplacement de cette division par une multiplication? Combien savent pourquoi 5° = 1 ou pourquoi (-4) × (-5) = +20? Combien peuvent expliquer pourquoi    10 ÷ 4 = 2 reste 2 est inacceptable? à chacune de ces questions, moins de cinq pourcent des adultes, qui connaissent ces éléments, peuvent les justifier, sauf  10 ÷ 4 = 2 reste 2 qu’ils croient valable.

Encore au sujet de la pertinence, au lieu de soustraire, certains préfèrent additionner et, par exemple, 5 – 2 = ___ est remplacé par 2 + ___= 5. À quoi leur sert l’apprentissage des tables de soustractions?  Toujours en soustraction, il existe un excellent algorithme qui utilise les nombres négatifs comme suit : 15 – 7 = 10 – 2. L’élève effectue : 1 dizaine – 0 dizaine = 1 dizaine et 5 unités – 7 unités = -2 unités. Il reste à calculer que 10 – 2 = 8. Plus lent? Peut-être, mais preuve d’une excellente compréhension d’autant plus que les élèves qui calculent de cette façon le font sans l’avoir appris de quiconque. Une grande victoire pour le constructivisme et les capacités des enfants! Et ne croyez surtout pas que ce sont les élèves forts en maths qui inventent cela, ceux-là ont déjà appris à utiliser la technique enseignée à tous. Par ailleurs, cette technique, qui utilise les nombres négatifs, leur permet déjà de solutionner la soustraction algébrique x + 5y – 7y  = x – 2y, ce qui, d’après la didactique officielle, est beaucoup trop avancé pour eux…Bref, l’élève qui utilise les nombres négatifs pour effectuer ses soustractions n’a pas besoin d’apprendre les combinaisons dont le premier nombre excède dix. 

Et il y a celui qui procède de façon similaire en addition : 15 + 8 = 15 + 5 + 3 = 20 + 3 = 23. Pour celui-là, l’apprentissage des tables, dont la somme des termes excède dix, est inutile. 

Le nouveau programme du Québec prescrit le développement d’algorithmes personnels en addition et en soustraction au premier cycle du primaire (élèves de 6 ou 7 ans). Ce n’est qu’au deuxième cycle que l’algorithme traditionnel doit leur enseigné. Ce que les auteurs du programme n’ont pas compris ce sont les liens qui s’établissent entre un algorithme et les tables nécessaires à son utilisation. Pour cette raison, c’est une erreur d’inciter les élèves à mémoriser les tables d’additions et de soustractions au premier cycle alors qu’ils sont à l’étape du développement d’algorithmes personnels. De plus, les auteurs du programme n’ont pas compris à quel point ceux qui calculent avec une grande souplesse, en jouant avec les nombres et les algorithmes, sont favorisés. Or l’apprentissage précoce des tables, soit avant que l’élève ait pu explorer divers algorithmes pour le même calcul, ne favorise nullement le développement de cette souplesse. Enfin, en fixant pratiquement comme objectif terminal l’apprentissage de l’algorithme usuel, les auteurs du programme semblent ignorer que le peuple français effectue ses soustractions au moyen d’un algorithme différent mais tout aussi valable mathématiquement, que les anglophones du Québec utilisent une technique de division différente que celle que les francophones emploient.

Tous ces algorithmes sont mathématiquement équivalents. Plus important est alors la capacité des élèves à construire des algorithmes adéquats, plus important encore est le développement chez l’élève d’une grande souplesse en calcul. Afin d’atteindre ces objectifs supérieurs, il faut effectivement permettre aux élèves de développer d’abord des techniques vraiment personnelles, c’est-à-dire sans orienter leur travail avec l’apprentissage précoce des tables ou encore en ayant en tête que, tôt ou tard, ils utiliseront l’algorithme de leur entourage. 

La semaine prochaine, nous verrons comment amorcer l’apprentissage des tables au premier cycle.

Bonne année 2008!
Robert Lyons