MATHADORE
    Volume 8 Numéro 269 –  24 février 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                 La numération (5)

 Lorsque les élèves modifient la représentation d’un nombre de base dix, il est fréquent que se glissent quelques erreurs de calcul. Or ces décompositions sont très utiles lorsque des algorithmes sont employés. Ainsi, afin d’effectuer 351 – 174, le nombre 351 sera transformé en 2 centaines + 14 dizaines + 11 unités dans la technique avec emprunts. Cette représentation de 351 permet de soustraire 174 facilement : 2 c. + 14 d. + 11 u. – 1 c. – 7 d. – 4 u. = 1 c. + 7 d. + 7u. = 177.

Par ailleurs, afin de diviser 351 par 3, la représentation idéale de 351 devient 3 c. + 3 d. + 21 u. puisqu’à chaque position nous avons un multiple de 3 et diviser ce nombre devient facile : (3 c. + 3 d. + 21 u.) ÷ 3 = 1 c. + 1 d. + 7 u. soit 117.

Voici maintenant diverses représentations d’un autre nombre.

467 = 4 c. + 6 d. + 7 u.
       = 3 c. + 16 d. + 7 u.
       = 3 c. + 15 d. + 17 u.
       = 5 c. – 3 d. – 3 u.
       = 5 c. – 4 d. + 7 u.

Il existe un moyen très simple de vérifier si ces transformations peuvent être exemptes d’erreurs. D’abord, on effectue  4 + 6 + 7 = 17 ensuite 1 + 7 = 8. Nous avons additionné chaque nombre formant 467 sans tenir compte de sa valeur relative. Ainsi 400 est devenu 4, 60 est devenu 6 et 7 n’a pas été modifié. Le même sort a frappé 17, la somme obtenue et 10 est devenu 1 d’où 1 + 7 = 8.

Reprenons les décompositions précédentes de 467 en enlevant les valeurs relatives des nombres de ces décompositions.

467 = 4 c. + 6 d. + 7 u.   ?   4+6+7 
       = 3 c. + 16 d. + 7 u.   ?   3 + 16 + 7
       = 3 c. + 15 d. + 17 u.   ?   3 + 15 + 17
       = 5 c. – 3 d. – 3 u.   ?   5 – 3 – 3
       = 5 c. – 4 d. + 7 u.   ?   5 – 4 + 7

Certaines décompositions utilisent des nombres à deux chiffres. Transformons-les en ne tenant pas compte de leur valeur relative. 
Ainsi, 3 + 16 + 7 devient 3 + 1 + 6 + 7 et 3 + 15 + 17 devient 3 + 1 + 5 + 1 + 7. 
D’où : 4 + 6 + 7 = 17 ensuite 1 + 7 = 8
 3 + 16 + 7   ?    3 + 1 + 6+ 7 = 17 et 1 + 7 = 8
 3 + 15 + 17   ?   3 + 1 + 5 + 1 + 7 = 17 et 1 + 7 = 8
 5 – 3 – 3 = –1 ???
 5 – 4 + 7 = 8 Ouf!

Il semble n’y avoir qu’une seule exception : 5 – 3 – 3 = –1. Ajoutons 9 à chaque nombre de cette égalité : 5 – 3 – 3 + 9 = 9 – 1 = 8.  Magique ? Pas vraiment, simplement mathématique.

Lorsque nous transformons une dizaine en dix unités, le nombre neuf apparaît. Prenez un dix cent, vous avez une seule pièce. échangez ce 10¢ pour dix pièces de 1¢, vous obtenez maintenant dix pièces là où vous n’en aviez qu’une seulement. Il y a neuf pièces de plus. Inversement, échanger dix pièces de 1¢ pour un 10¢ réduit de neuf pièces le nombre de pièces du départ. Et lorsque cent pièces d’un cent sont échangées pour une pièce de un dollar, le nombre de pièces est réduit de 99, soit 9 × 11.

Revenons à 467 au lieu d’effectuer 4 + 6 + 7 = 17 et 1 + 7 = 8, on peut faire ce qui suit : 4 + 6 – 9 = 1 et 1 + 7 = 8 ou 4 + 6 – 9 +7 = 1, enlever 9 ne modifie pas le résultat. On peut aussi ajouter 9 : 4 + 6 + 7 = 4 + 7 + 6 = 11 + 6 et ensuite 11 + 9 + 6 = 26 et 2 + 6 = 8.

Bref, tout ce qui est égal à neuf est omis. Cela peut se faire à la fin comme au cœur même du processus de transformation. Ainsi, 53 672 devient 5 + 3 + 6 + 7 + 2 = 23 et 23 devient 2 + 3 = 5. Mais si nous observons 5 + 3 + 6 + 7 + 2, nous trouvons deux sommes égales à 9 : 3 + 6 = 9 et 7 + 2 = 9 d’où 5 + 3 + 6 + 7 + 2 = 5 + 9 + 9. Omettons les 9 et nous obtenons 5 + 3 + 6 + 7 + 2 = 5 + 9 + 9 qui devient 5 + 0 + 0 = 5.

Ce qui précède est appelé «preuve par neuf». Elle peut être utilisée dans toutes les opérations portant sur des nombres de base dix puisque, dans cette base, on regroupe par dix et 10 dizaines deviennent 1 centaine et 10 unités deviennent 1 dizaine. Il y a donc «apparition» ou «disparition» de neuf «quelque chose» lors de chaque transformation.

Robert Lyons

Prochaine publication : après la relâche scolaire, soit le 8 mars 2008.

Profitez de cette semaine de relâche.