MATHADORE
    Volume 9 Numéro 312 –  10 mai 2009
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique


      L’apprentissage des tables et des algorithmes (1).

   On se demande parfois si, en dehors de l’apprentissage des tables et des techniques de calcul, certaines personnes accordent de l’importance à d’autres apprentissages mathématiques. On se demande aussi si ces apprentissages, que l’on qualifie de «fondamentaux» ou «d’apprentissages de base», occupent valablement autant de place en enseignement des mathématiques ou, si, au  contraire, ils doivent leur popularité à une tradition qui aurait avantage à être remise en question  surtout lorsque l’on considère leur rôle réel dans notre société.

   En ce qui concerne l’apprentissage des tables, pourquoi certains les apprennent-ils encore jusqu’à 12 + 12 et jusqu’à 12 × 12 ? Pourquoi pas jusqu’à dix, quinze ou vingt ? Est-ce que l’utilisation de la mesure en pouces, pieds et milles ou encore la mesure en onces, livres et grosses pouvaient justifier l’apprentissage des tables jusqu’à douze alors que le passage à la mesure selon le système international d’unités ne le justifie plus du tout ?

   Par ailleurs, le nouveau programme du Québec mentionne le développement de processus personnels d’addition et de soustraction au premier cycle du primaire alors que les processus dits «conventionnels» sont situés au deuxième cycle pour ces mêmes opérations. La même séquence est observée en ce qui concerne la multiplication et la division mais un cycle, donc deux années plus tard. Avec les processus personnels, le programme mentionne l’apprentissage des tables jusqu’à dix.

   Ce qui est évident dans ce qui précède, c’est que les processus personnels constituent des processus bien mystérieux pour les auteurs de ce programme. En fait, qu’est-ce qu’un processus conventionnel sinon un processus personnel qui a fait consensus auprès d’une collectivité ? D’un pays à un autre, et même parfois, dans le même pays, c’est le cas au Canada, plusieurs  processus «conventionnels» sont utilisés. Ainsi, anglophones et francophones du Canada n’utilisent pas le même algorithme de division des nombres entiers. Derrière leurs deux processus se cachent toutefois les mêmes propriétés mathématiques, seule la codification des processus est différente. C’est tout de même amusant, car la division conventionnelle utilisée par les francophones sera qualifiée de «processus personnel» dans les écoles anglophones et le phénomène inverse sera observé dans les écoles francophones.

   Revenons aux processus personnels. En lisant le programme, on a l’impression qu’on leur confie le même rôle que celui qui est souvent confié à la manipulation : une sorte d’introduction pour les jeunes élèves à certains concepts, introduction qu’il faudra plus ou moins rapidement laisser de côté en faveur de «mathématiques plus sérieuses». Que faire alors si l’élève du secondaire utilise encore divers processus personnels au lieu des processus conventionnels ? Est-ce possible que  cela manifeste une compréhension supérieure du nombre et des opérations ?

   Est-ce possible que nous ayons appris des processus conventionnels sans vraiment les comprendre ? On pense à la division de fractions dans laquelle la division par la seconde fraction est remplacée par la multiplication par la fraction inverse. Mais, il y a beaucoup plus simple, pourquoi additionner et soustraire par écrit de droite à gauche ? Pourquoi ne pas faire l’inverse ? D’autant plus que l’on retrouve de nombreuses personnes qui, souvent inconsciemment, calculent «de gauche à droite» en calcul mental. Et pourtant, le calcul mental est considéré plus difficile que le calcul écrit. Où est la logique: la technique la plus facile pour le calcul écrit qui est considéré le plus facile et la technique la plus difficile pour le calcul mental qui est plus exigeant? à moins qu’additionner et soustraire de gauche à droite soit toujours ce qu’il y a de plus facile.

   Vous croyez peut-être n’avoir jamais calculé «de gauche à droite» ? Essayons ce qui suit. Vous devez payer une somme de 14,79$ avec un billet de 20$. Combien doit-on vous remettre ? Si vous avez déjà tenu une caisse, vous pensez à compléter en dollars d’abord donc  20¢  … 21¢, puis 5$ … 5,21$. Cet algorithme se justifie par le matériel dont vous disposez et le travail à effectuer. Par contre, si vous n’avez jamais occupé un poste où vous deviez rendre la monnaie, vous avez probablement pensé d’abord qu’entre 20$ et 14,79$, il y avait un peu plus que 5$. Ensuite vous avez trouvé 5,20$ …5,21$. Vous avez calculé en vous occupant d’abord des grandes unités, contrairement à ce qui est fait couramment en calcul écrit.

   Alors voilà, en calcul écrit et en calcul mental, plusieurs d’entre nous utilisons deux processus «conventionnels» différents et ce, souvent, sur les mêmes nombres. Parce qu’elle est enseignée à l’école, la technique écrite est qualifiée de processus conventionnel alors que la technique utilisée en calcul mental est perçue comme un processus personnel. Peut-on penser que l’utilisation de ce processus personnel démontre une meilleure compréhension que l’utilisation, par imitation, du processus conventionnel ? Et que faire avec les élèves qui effectuent habituellement leurs additions et leurs soustractions écrites de gauche à droite ? Faut-il insister sur l’apprentissage et l’utilisation régulière d’un processus écrit plus conventionnel ?

   Avant de répondre à cette question, je vous prie d’être indulgent puisque l’auteur de ces lignes n’effectue ses additions et ses soustractions écrites que de gauche à droite depuis l’âge de huit ans. Cela semble lui avoir toujours permis de calculer plus rapidement que la majorité des autres élèves d’abord et des adultes par la suite ? Est-ce possible que la conservation de ces techniques personnelles en addition et en soustraction, entre autres, permette de concevoir les mathématiques comme un domaine de créativité ? Est-ce possible qu’une telle perception des mathématiques conduise à croire que la mémorisation et la pratique répétitive ne sont pas à la base de l’apprentissage des mathématiques ? Est-ce possible que la plus grande différence entre les «forts en maths» et ceux qui éprouvent des difficultés tienne davantage à la perception de ce que sont les mathématiques et à la façon de les apprendre qu’à une mystérieuse et toujours introuvable «bosse des mathématiques» ?

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Robert Lyons